Precálculo Ejemplos

$y^{2} - 2 y = - x + 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Reescribe la ecuación como $- x + 1 = y^{2} - 2 y$ .

$- x + 1 = y^{2} - 2 y$

Paso 1.1.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = y^{2} - 2 y - 1$

Paso 1.1.3

Divide cada término en $- x = y^{2} - 2 y - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Divide cada término en $- x = y^{2} - 2 y - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2 y}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2 y}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.1.3.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2 y}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot y^{2} + \frac{- 2 y}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$x = - y^{2} + \frac{- 2 y}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 2 y}{- 1}$ .

$x = - y^{2} - 1 \cdot (- 2 y) + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.1.3.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot (- 2 y)$ como $- (- 2 y)$ .

$x = - y^{2} - (- 2 y) + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.1.3.3.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$x = - y^{2} + 2 y + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.1.3.3.1.6

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = - y^{2} + 2 y + 1$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- y^{2} + 2 y + 1$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 1$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Paso 1.2.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 1 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 1 - \frac{4}{- 4}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $4$ por $- 4$ .

$e = 1 - - 1$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 1 + 1$

Paso 1.2.4.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$e = 2$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(y - 1)}^{2} + 2$ .

$- {(y - 1)}^{2} + 2$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = - {(y - 1)}^{2} + 2$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 1$

$h = 2$

$k = 1$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(2, 1)$

Paso 4