Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$

Paso 1

Establece $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$ igual a $0$ .

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 2 x^{2} + 2 x = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x$ de $- 2 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + 2 x = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 2 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 2 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 2$ .

$x (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Paso 2.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{2} - 2 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2} - 2 x + 2$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica.

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Paso 2.4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 2.4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.3

Resta $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Paso 2.4.2.3.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Paso 2.4.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.4.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.4.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 2.4.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.3

Resta $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Paso 2.4.2.4.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Paso 2.4.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + i$

Paso 2.4.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.4.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 2.4.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.3

Resta $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Paso 2.4.2.5.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Paso 2.4.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - i$

Paso 2.4.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + i, 1 - i$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ verdadera. La multiplicidad de una raíz es la cantidad de veces que aparece la raíz.

$x = 0$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 1 + i$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 1 - i$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 0$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 1 + i$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 1 - i$ (Multiplicidad de $1$ )

Paso 3