Precálculo Ejemplos

$f (x) = e^{8 x - 7} - 5^{x - 5}$

Paso 1

Establece $e^{8 x - 7} - 5^{x - 5}$ igual a $0$ .

$e^{8 x - 7} - 5^{x - 5} = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Mueve $- 5^{x - 5}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma en ambos lados.

$e^{8 x - 7} = 5^{x - 5}$

Paso 2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{8 x - 7}) = \ln (5^{x - 5})$

Paso 2.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1

Expande $\ln (e^{8 x - 7})$ ; para ello, mueve $8 x - 7$ fuera del logaritmo.

$(8 x - 7) \ln (e) = \ln (5^{x - 5})$

Paso 2.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(8 x - 7) \cdot 1 = \ln (5^{x - 5})$

Paso 2.3.3

Multiplica $8 x - 7$ por $1$ .

$8 x - 7 = \ln (5^{x - 5})$

Paso 2.4

Expande $\ln (5^{x - 5})$ ; para ello, mueve $x - 5$ fuera del logaritmo.

$8 x - 7 = (x - 5) \ln (5)$

Paso 2.5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x - 7 = x \ln (5) - 5 \ln (5)$

Paso 2.6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- x \ln (5) + 5 \ln (5) = - 8 x + 7$

Paso 2.7

Suma $8 x$ a ambos lados de la ecuación.

$- x \ln (5) + 5 \ln (5) + 8 x = 7$

Paso 2.8

Resta $5 \ln (5)$ de ambos lados de la ecuación.

$- x \ln (5) + 8 x = 7 - 5 \ln (5)$

Paso 2.9

Factoriza $x$ de $- x \ln (5) + 8 x$ .

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Paso 2.9.1

Factoriza $x$ de $- x \ln (5)$ .

$x (- 1 \ln (5)) + 8 x = 7 - 5 \ln (5)$

Paso 2.9.2

Factoriza $x$ de $8 x$ .

$x (- 1 \ln (5)) + x \cdot 8 = 7 - 5 \ln (5)$

Paso 2.9.3

Factoriza $x$ de $x (- 1 \ln (5)) + x \cdot 8$ .

$x (- 1 \ln (5) + 8) = 7 - 5 \ln (5)$

Paso 2.10

Reescribe $- 1 \ln (5)$ como $- \ln (5)$ .

$x (- \ln (5) + 8) = 7 - 5 \ln (5)$

Paso 2.11

Divide cada término en $x (- \ln (5) + 8) = 7 - 5 \ln (5)$ por $- \ln (5) + 8$ y simplifica.

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Paso 2.11.1

Divide cada término en $x (- \ln (5) + 8) = 7 - 5 \ln (5)$ por $- \ln (5) + 8$ .

$\frac{x (- \ln (5) + 8)}{- \ln (5) + 8} = \frac{7}{- \ln (5) + 8} + \frac{- 5 \ln (5)}{- \ln (5) + 8}$

Paso 2.11.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.11.2.1

Cancela el factor común de $- \ln (5) + 8$ .

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Paso 2.11.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (- \ln (5) + 8)}{- \ln (5) + 8} = \frac{7}{- \ln (5) + 8} + \frac{- 5 \ln (5)}{- \ln (5) + 8}$

Paso 2.11.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{- \ln (5) + 8} + \frac{- 5 \ln (5)}{- \ln (5) + 8}$

Paso 2.11.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.11.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{7 - 5 \ln (5)}{- \ln (5) + 8}$

Paso 2.11.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \ln (5)$ .

$x = \frac{7 - 5 \ln (5)}{- \ln (5) + 8}$

Paso 2.11.3.3

Reescribe $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$x = \frac{7 - 5 \ln (5)}{- \ln (5) - 1 (- 8)}$

Paso 2.11.3.4

Factoriza $- 1$ de $- \ln (5) - 1 (- 8)$ .

$x = \frac{7 - 5 \ln (5)}{- (\ln (5) - 8)}$

Paso 2.11.3.5

Reescribe los negativos.

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Paso 2.11.3.5.1

Reescribe $- (\ln (5) - 8)$ como $- 1 (\ln (5) - 8)$ .

$x = \frac{7 - 5 \ln (5)}{- 1 (\ln (5) - 8)}$

Paso 2.11.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{7 - 5 \ln (5)}{\ln (5) - 8}$

$x = - \frac{7 - 5 \ln (5)}{\ln (5) - 8}$ (Multiplicidad de $1$ )

Paso 3