Precálculo Ejemplos

${(y - 3)}^{2} = 12 (x + 3)$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Reescribe la ecuación como $12 (x + 3) = {(y - 3)}^{2}$ .

$12 (x + 3) = {(y - 3)}^{2}$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $12 (x + 3) = {(y - 3)}^{2}$ por $12$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $12 (x + 3) = {(y - 3)}^{2}$ por $12$ .

$\frac{12 (x + 3)}{12} = \frac{{(y - 3)}^{2}}{12}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 (x + 3)}{12} = \frac{{(y - 3)}^{2}}{12}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $x + 3$ por $1$ .

$x + 3 = \frac{{(y - 3)}^{2}}{12}$

Paso 1.1.3

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{{(y - 3)}^{2}}{12} - 3$

Paso 1.1.4

Reordena los términos.

$x = \frac{1}{12} \cdot {(y - 3)}^{2} - 3$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{1}{12} \cdot {(y - 3)}^{2} - 3$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(y - 3)}^{2}$ como $(y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{1}{12} \cdot ((y - 3) (y - 3)) - 3$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(y - 3) (y - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} \cdot (y (y - 3) - 3 (y - 3)) - 3$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)) - 3$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3) - 3$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3) - 3$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3) - 3$

Paso 1.2.1.1.3.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} - 3 y - 3 y + 9) - 3$

Paso 1.2.1.1.3.2

Resta $3 y$ de $- 3 y$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} - 6 y + 9) - 3$

Paso 1.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} y^{2} + \frac{1}{12} (- 6 y) + \frac{1}{12} \cdot 9 - 3$

Paso 1.2.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.2.1.1.5.1

Combina $\frac{1}{12}$ y $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{12} (- 6 y) + \frac{1}{12} \cdot 9 - 3$

Paso 1.2.1.1.5.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.2.1.1.5.2.1

Factoriza $6$ de $12$ .

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{6 (2)} (- 6 y) + \frac{1}{12} \cdot 9 - 3$

Paso 1.2.1.1.5.2.2

Factoriza $6$ de $- 6 y$ .

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{6 (2)} (6 (- y)) + \frac{1}{12} \cdot 9 - 3$

Paso 1.2.1.1.5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{6 \cdot 2} (6 (- y)) + \frac{1}{12} \cdot 9 - 3$

Paso 1.2.1.1.5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{2} (- y) + \frac{1}{12} \cdot 9 - 3$

Paso 1.2.1.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $y$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{1}{12} \cdot 9 - 3$

Paso 1.2.1.1.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.1.1.5.4.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{1}{3 (4)} \cdot 9 - 3$

Paso 1.2.1.1.5.4.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot 3) - 3$

Paso 1.2.1.1.5.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot 3) - 3$

Paso 1.2.1.1.5.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{1}{4} \cdot 3 - 3$

Paso 1.2.1.1.5.5

Combina $\frac{1}{4}$ y $3$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{3}{4} - 3$

Paso 1.2.1.2

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{3}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 1.2.1.3

Combina $- 3$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Paso 1.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{3 - 3 \cdot 4}{4}$

Paso 1.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1.5.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{3 - 12}{4}$

Paso 1.2.1.5.2

Resta $12$ de $3$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{- 9}{4}$

Paso 1.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} - \frac{9}{4}$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{12}$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = - \frac{9}{4}$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{12}$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{12}}$

Paso 1.2.4.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $12$ .

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Paso 1.2.4.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Paso 1.2.4.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Paso 1.2.4.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Paso 1.2.4.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Paso 1.2.4.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{1}{2} (1 \cdot 6)$

Paso 1.2.4.2.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot 6$

Paso 1.2.4.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.2.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$d = \frac{- 1}{2} \cdot 6$

Paso 1.2.4.2.6.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$d = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (3))$

Paso 1.2.4.2.6.3

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 3)$

Paso 1.2.4.2.6.4

Reescribe la expresión.

$d = - 1 \cdot 3$

Paso 1.2.4.2.7

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$d = - 3$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{9}{4} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{9}{4} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{9}{4} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{9}{4} - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = - \frac{9}{4} - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{9}{4} - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.6

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$e = - \frac{9}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{12}$ .

$e = - \frac{9}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{12}}$

Paso 1.2.5.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 1.2.5.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$e = - \frac{9}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 (1)}{12}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.5.2.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$e = - \frac{9}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = - \frac{9}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{9}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2.5.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = - \frac{9}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 3)$

Paso 1.2.5.2.1.5

Combina $\frac{1}{4}$ y $3$ .

$e = - \frac{9}{4} - \frac{3}{4}$

Paso 1.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 9 - 3}{4}$

Paso 1.2.5.2.3

Resta $3$ de $- 9$ .

$e = \frac{- 12}{4}$

Paso 1.2.5.2.4

Divide $- 12$ por $4$ .

$e = - 3$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{12} {(y - 3)}^{2} - 3$ .

$\frac{1}{12} {(y - 3)}^{2} - 3$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{12} \cdot {(y - 3)}^{2} - 3$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{12}$

$h = - 3$

$k = 3$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 3, 3)$

Paso 4