Precálculo Ejemplos

$16 x^{2} + 64 x + 4 y^{2} - 8 y + 4 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$16 x^{2} + 64 x + 4 y^{2} - 8 y = - 4$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $16 x^{2} + 64 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 16$

$b = 64$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{64}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $64$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $64$ .

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 (16)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{32}{16}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $32$ y $16$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$d = \frac{16 \cdot 2}{16}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $16$ de $16$ .

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{64^{2}}{4 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $64$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $4096$ por $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$e = 0 - 64$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $64$ de $0$ .

$e = - 64$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $16 {(x + 2)}^{2} - 64$ .

$16 {(x + 2)}^{2} - 64$

Paso 1.3

Sustituye $16 {(x + 2)}^{2} - 64$ por $16 x^{2} + 64 x$ en la ecuación $16 x^{2} + 64 x + 4 y^{2} - 8 y = - 4$ .

$16 {(x + 2)}^{2} - 64 + 4 y^{2} - 8 y = - 4$

Paso 1.4

Mueve $- 64$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $64$ a ambos lados.

$16 {(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} - 8 y = - 4 + 64$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $4 y^{2} - 8 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 4}{4}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $4$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Paso 1.5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $64$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Paso 1.5.4.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

Paso 1.6

Sustituye $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ por $4 y^{2} - 8 y$ en la ecuación $16 x^{2} + 64 x + 4 y^{2} - 8 y = - 4$ .

$16 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} - 4 = - 4 + 64$

Paso 1.7

Mueve $- 4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $4$ a ambos lados.

$16 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = - 4 + 64 + 4$

Paso 1.8

Simplifica $- 4 + 64 + 4$ .

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Paso 1.8.1

Suma $- 4$ y $64$ .

$16 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 60 + 4$

Paso 1.8.2

Suma $60$ y $4$ .

$16 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 64$

Paso 1.9

Divide cada término por $64$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{16 {(x + 2)}^{2}}{64} + \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{64} = \frac{64}{64}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 4$

$b = 2$

$k = 1$

$h = - 2$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(- 2, 1)$

Paso 5