Precálculo Ejemplos

$(\sqrt{125}, \sqrt{20})$ , $(7, 2 \sqrt{5})$

Paso 1

Reescribe $125$ como $5^{2} \cdot 5$ .

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Paso 1.1

Factoriza $25$ de $125$ .

$(\sqrt{25 (5)}, \sqrt{20}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Paso 1.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$(\sqrt{5^{2} \cdot 5}, \sqrt{20}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Paso 2

Retira los términos de abajo del radical.

$(5 \sqrt{5}, \sqrt{20}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Paso 3

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 3.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$(5 \sqrt{5}, \sqrt{4 (5)}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Paso 3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(5 \sqrt{5}, \sqrt{2^{2} \cdot 5}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Paso 4

Retira los términos de abajo del radical.

$(5 \sqrt{5}, 2 \sqrt{5}) - (7, 2 \sqrt{5})$

Paso 5

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 6

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

$\sqrt{{(7 - 5 \sqrt{5})}^{2} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe ${(7 - 5 \sqrt{5})}^{2}$ como $(7 - 5 \sqrt{5}) (7 - 5 \sqrt{5})$ .

$\sqrt{(7 - 5 \sqrt{5}) (7 - 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7.2

Expande $(7 - 5 \sqrt{5}) (7 - 5 \sqrt{5})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{7 (7 - 5 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{5} (7 - 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{7 \cdot 7 + 7 (- 5 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{5} (7 - 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{7 \cdot 7 + 7 (- 5 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{5} \cdot 7 - 5 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Multiplica $7$ por $7$ .

$\sqrt{49 + 7 (- 5 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{5} \cdot 7 - 5 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica $- 5$ por $7$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 5 \sqrt{5} \cdot 7 - 5 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7.3.1.3

Multiplica $7$ por $- 5$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} - 5 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7.3.1.4

Multiplica $- 5 \sqrt{5} (- 5 \sqrt{5})$ .

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Paso 7.3.1.4.1

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \sqrt{5} \sqrt{5} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7.3.1.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7.3.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 {\sqrt{5}}^{1 + 1} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7.3.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 {\sqrt{5}}^{2} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 7.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \cdot 5^{1} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7.3.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 25 \cdot 5 + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7.3.1.6

Multiplica $25$ por $5$ .

$\sqrt{49 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + 125 + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7.3.2

Suma $49$ y $125$ .

$\sqrt{174 - 35 \sqrt{5} - 35 \sqrt{5} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7.3.3

Resta $35 \sqrt{5}$ de $- 35 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{174 - 70 \sqrt{5} + {(2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 7.4

Resta $2 \sqrt{5}$ de $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{174 - 70 \sqrt{5} + 0^{2}}$

Paso 7.5

Simplifica la expresión.

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Paso 7.5.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\sqrt{174 - 70 \sqrt{5} + 0}$

Paso 7.5.2

Suma $174 - 70 \sqrt{5}$ y $0$ .

$\sqrt{174 - 70 \sqrt{5}}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sqrt{174 - 70 \sqrt{5}}$

Forma decimal:

$4.18033988 \dots$

Paso 9