Precálculo Ejemplos

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo $\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$ .

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Paso 1.1

Para escribir $- \frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} \cdot \frac{4}{4} = 1$

Paso 1.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.1

Multiplica $\frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2} \cdot 4}{4 \cdot 4} = 1$

Paso 1.2.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2} \cdot 4}{16} = 1$

Paso 1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(x - 4)}^{2} - {(y + 3)}^{2} \cdot 4}{16} = 1$

Paso 1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1

Reescribe ${(y + 3)}^{2} \cdot 4$ como ${((y + 3) \cdot 2)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2} - {((y + 3) \cdot 2)}^{2}}{16} = 1$

Paso 1.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x - 4$ y $b = (y + 3) \cdot 2$ .

$\frac{(x - 4 + (y + 3) \cdot 2) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

Paso 1.4.3

Simplifica.

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Paso 1.4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 4 + y \cdot 2 + 3 \cdot 2) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

Paso 1.4.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{(x - 4 + 2 \cdot y + 3 \cdot 2) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

Paso 1.4.3.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{(x - 4 + 2 \cdot y + 6) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

Paso 1.4.3.4

Suma $- 4$ y $6$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

Paso 1.4.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - (y \cdot 2 + 3 \cdot 2))}{16} = 1$

Paso 1.4.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - (2 \cdot y + 3 \cdot 2))}{16} = 1$

Paso 1.4.3.7

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - (2 \cdot y + 6))}{16} = 1$

Paso 1.4.3.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - (2 y) - 1 \cdot 6)}{16} = 1$

Paso 1.4.3.9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - 2 y - 1 \cdot 6)}{16} = 1$

Paso 1.4.3.10

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - 2 y - 6)}{16} = 1$

Paso 1.4.3.11

Resta $6$ de $- 4$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)}{16} = 1$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $16$ .

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)}{16} \cdot 16 = 1 \cdot 16$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica $\frac{(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)}{16} \cdot 16$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)}{16} \cdot 16 = 1 \cdot 16$

Paso 3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10) = 1 \cdot 16$

Paso 3.1.1.2

Expande $(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x \cdot x + x (- 2 y) + x \cdot - 10 + 2 y x + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Paso 3.1.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1.1.3.1

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x (- 2 y) + x \cdot - 10 + 2 y x + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10$ .

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Paso 3.1.1.3.1.1

Reordena los factores en los términos $x (- 2 y)$ y $2 y x$ .

$x \cdot x - 2 x y + x \cdot - 10 + 2 x y + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Paso 3.1.1.3.1.2

Suma $- 2 x y$ y $2 x y$ .

$x \cdot x + x \cdot - 10 + 0 + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Paso 3.1.1.3.1.3

Suma $x \cdot x + x \cdot - 10$ y $0$ .

$x \cdot x + x \cdot - 10 + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Paso 3.1.1.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.3.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 10 + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Paso 3.1.1.3.2.2

Mueve $- 10$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 10 \cdot x + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Paso 3.1.1.3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} - 10 x + 2 \cdot - 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Paso 3.1.1.3.2.4

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.1.3.2.4.1

Mueve $y$ .

$x^{2} - 10 x + 2 \cdot - 2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Paso 3.1.1.3.2.4.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$x^{2} - 10 x + 2 \cdot - 2 y^{2} + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Paso 3.1.1.3.2.5

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$x^{2} - 10 x - 4 y^{2} + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Paso 3.1.1.3.2.6

Multiplica $- 10$ por $2$ .

$x^{2} - 10 x - 4 y^{2} - 20 y + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Paso 3.1.1.3.2.7

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$x^{2} - 10 x - 4 y^{2} - 20 y + 2 x - 4 y + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

Paso 3.1.1.3.2.8

Multiplica $2$ por $- 10$ .

$x^{2} - 10 x - 4 y^{2} - 20 y + 2 x - 4 y - 20 = 1 \cdot 16$

Paso 3.1.1.3.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.1.1.3.3.1

Suma $- 10 x$ y $2 x$ .

$x^{2} - 8 x - 4 y^{2} - 20 y - 4 y - 20 = 1 \cdot 16$

Paso 3.1.1.3.3.2

Resta $4 y$ de $- 20 y$ .

$x^{2} - 8 x - 4 y^{2} - 24 y - 20 = 1 \cdot 16$

Paso 3.1.1.3.3.3

Mueve $- 8 x$ .

$x^{2} - 4 y^{2} - 8 x - 24 y - 20 = 1 \cdot 16$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Multiplica $16$ por $1$ .

$x^{2} - 4 y^{2} - 8 x - 24 y - 20 = 16$

Paso 4

Establece la ecuación igual a cero.

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Paso 4.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 4 y^{2} - 8 x - 24 y - 20 - 16 = 0$

Paso 4.2

Resta $16$ de $- 20$ .

$x^{2} - 4 y^{2} - 8 x - 24 y - 36 = 0$