Precálculo Ejemplos

$x = e^{4 t}$ , $y = e^{- t}$

Paso 1

Establece la ecuación paramétrica de $x (t)$ para resolver la ecuación de $t$ .

$x = e^{4 t}$

Paso 2

Reescribe la ecuación como $e^{4 t} = x$ .

$e^{4 t} = x$

Paso 3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{4 t}) = \ln (x)$

Paso 4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 4.1

Expande $\ln (e^{4 t})$ ; para ello, mueve $4 t$ fuera del logaritmo.

$4 t \ln (e) = \ln (x)$

Paso 4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$4 t \cdot 1 = \ln (x)$

Paso 4.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 t = \ln (x)$

Paso 5

Divide cada término en $4 t = \ln (x)$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $4 t = \ln (x)$ por $4$ .

$\frac{4 t}{4} = \frac{\ln (x)}{4}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 t}{4} = \frac{\ln (x)}{4}$

Paso 5.2.1.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{\ln (x)}{4}$

Paso 6

Reemplaza $t$ en la ecuación con $y$ para obtener la ecuación en términos de $x$ .

$y = e^{- (\frac{\ln (x)}{4})}$

Paso 7

Simplifica $e^{- (\frac{\ln (x)}{4})}$ .

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Paso 7.1

Reescribe $\frac{\ln (x)}{4}$ como $\frac{1}{4} \ln (x)$ .

$y = e^{- (\frac{1}{4} \ln (x))}$

Paso 7.2

Simplifica $\frac{1}{4} \ln (x)$ al mover $\frac{1}{4}$ dentro del algoritmo.

$y = e^{- \ln (x^{\frac{1}{4}})}$

Paso 7.3

Simplifica $- \ln (x^{\frac{1}{4}})$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$y = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1})}$

Paso 7.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$y = {(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$

Paso 7.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Paso 7.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = x^{\frac{1}{4} \cdot - 1}$

Paso 7.5.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 1$ .

$y = x^{\frac{- 1}{4}}$

Paso 7.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = x^{- \frac{1}{4}}$

Paso 7.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$