Precálculo Ejemplos

${(x - 3 y)}^{4}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(x - 3 y)}^{4}$ , $n = 4$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $5$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $x$ y $b$ en la expresión $- 3 y$ .

$1 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{0} + 4 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(x)}^{4}$ por $1$ .

${(x)}^{4} {(- 3 y)}^{0} + 4 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $- 3 y$ .

$x^{4} ({(- 3)}^{0} y^{0}) + 4 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

${(- 3)}^{0} x^{4} y^{0} + 4 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 x^{4} y^{0} + 4 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.5

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} y^{0} + 4 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{4} \cdot 1 + 4 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.7

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + 4 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.8

Simplifica.

$x^{4} + 4 x^{3} (- 3 y) + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{4} + 4 \cdot - 3 x^{3} y + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.10

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 6 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.11

Aplica la regla del producto a $- 3 y$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 6 x^{2} ({(- 3)}^{2} y^{2}) + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.12

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{4} - 12 x^{3} y + 6 \cdot {(- 3)}^{2} x^{2} y^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.13

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 6 \cdot 9 x^{2} y^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.14

Multiplica $6$ por $9$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.15

Simplifica.

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 x {(- 3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.16

Aplica la regla del producto a $- 3 y$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 x ({(- 3)}^{3} y^{3}) + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.17

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(- 3)}^{3} x y^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.18

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 \cdot - 27 x y^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.19

Multiplica $4$ por $- 27$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} - 108 x y^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.20

Multiplica ${(x)}^{0}$ por $1$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} - 108 x y^{3} + {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.21

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} - 108 x y^{3} + 1 {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.22

Multiplica ${(- 3 y)}^{4}$ por $1$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} - 108 x y^{3} + {(- 3 y)}^{4}$

Paso 4.23

Aplica la regla del producto a $- 3 y$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} - 108 x y^{3} + {(- 3)}^{4} y^{4}$

Paso 4.24

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$x^{4} - 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} - 108 x y^{3} + 81 y^{4}$