Precálculo Ejemplos

${(2 x + 5)}^{3}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(2 x + 5)}^{3}$ , $n = 3$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $4$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $2 x$ y $b$ en la expresión $5$ .

$1 {(2 x)}^{3} {(5)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(5)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(2 x)}^{3}$ por $1$ .

${(2 x)}^{3} {(5)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(5)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$2^{3} x^{3} {(5)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(5)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Paso 4.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 x^{3} {(5)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(5)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Paso 4.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$8 x^{3} \cdot 1 + 3 {(2 x)}^{2} {(5)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Paso 4.5

Multiplica $8$ por $1$ .

$8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} {(5)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Paso 4.6

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) {(5)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Paso 4.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) {(5)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Paso 4.8

Multiplica $4$ por $3$ .

$8 x^{3} + 12 x^{2} {(5)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Paso 4.9

Evalúa el exponente.

$8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot 5 + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Paso 4.10

Multiplica $5$ por $12$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 3 {(2 x)}^{1} {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Paso 4.11

Simplifica.

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 3 (2 x) {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Paso 4.12

Multiplica $2$ por $3$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 6 x {(5)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Paso 4.13

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 6 x \cdot 25 + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Paso 4.14

Multiplica $25$ por $6$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x + 1 {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Paso 4.15

Multiplica ${(2 x)}^{0}$ por $1$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x + {(2 x)}^{0} {(5)}^{3}$

Paso 4.16

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x + 2^{0} x^{0} {(5)}^{3}$

Paso 4.17

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x + 1 x^{0} {(5)}^{3}$

Paso 4.18

Multiplica $x^{0}$ por $1$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x + x^{0} {(5)}^{3}$

Paso 4.19

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x + 1 {(5)}^{3}$

Paso 4.20

Multiplica ${(5)}^{3}$ por $1$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x + {(5)}^{3}$

Paso 4.21

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$8 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x + 125$