Precálculo Ejemplos

$3 y^{2} - x - 2 y + 1 = 0$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} - 2 y + 1 = x$

Paso 1.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} - 2 y = x - 1$

Paso 2

Completa el cuadrado.

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 3$

$b = - 2$

$c = 0 = x - 1$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e = x - 1$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (3)}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{3}$

Paso 2.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{1}{3}$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 3}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$e = 0 - \frac{4}{12}$

Paso 2.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 2.4.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$e = 0 - \frac{4 (1)}{12}$

Paso 2.4.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Paso 2.4.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Paso 2.4.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{1}{3}$

Paso 2.4.2.2

Resta $\frac{1}{3}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{3}$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3}$ .

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} = x - 1$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Suma $\frac{1}{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - 1 + \frac{1}{3}$

Paso 3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 3.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x + \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x + \frac{- 3 + 1}{3}$

Paso 3.5.2

Suma $- 3$ y $1$ .

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x + \frac{- 2}{3}$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - \frac{2}{3}$

Paso 4

Divide cada término en $3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - \frac{2}{3}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - \frac{2}{3}$ por $3$ .

$\frac{3 {(y - \frac{1}{3})}^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- \frac{2}{3}}{3}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(y - \frac{1}{3})}^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- \frac{2}{3}}{3}$

Paso 4.2.1.2

Divide ${(y - \frac{1}{3})}^{2}$ por $1$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} + \frac{- \frac{2}{3}}{3}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 4.3.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} - \frac{2}{3 \cdot 3}$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} - \frac{2}{9}$

Paso 5

Factoriza.

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Paso 5.1

Para escribir $\frac{x}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{9}$

Paso 5.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.1

Multiplica $\frac{x}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{2}{9}$

Paso 5.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x \cdot 3}{9} - \frac{2}{9}$

Paso 5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x \cdot 3 - 2}{9}$

Paso 5.4

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{3 x - 2}{9}$

Paso 5.5

Reordena los términos.

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9} (3 x - 2)$