Precálculo Ejemplos

$f (x) = - x^{2} - 4 x - 1$

Paso 1

Escribe $f (x) = - x^{2} - 4 x - 1$ como una ecuación.

$y = - x^{2} - 4 x - 1$

Paso 2

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- x^{2} - 4 x - 1 = y$

Paso 3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} - 4 x = y + 1$

Paso 4

Completa el cuadrado.

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Paso 4.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 0 = y + 1$

Paso 4.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 1$

Paso 4.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Paso 4.3.2.2

Reescribe $- 1 \cdot - 2$ como $- - 2$ .

$d = - - 2$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$d = 2$

Paso 4.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 4.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.1.1

Cancela el factor común de ${(- 4)}^{2}$ y $4$ .

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Paso 4.4.2.1.1.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 4.4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 4.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 4.4.2.1.1.4

Multiplica $4^{2}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 4.4.2.1.1.5

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Paso 4.4.2.1.1.6

Mueve el negativo del denominador de $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Paso 4.4.2.1.2

Multiplica $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Paso 4.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - - 4$

Paso 4.4.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Paso 4.4.2.2

Suma $0$ y $4$ .

$e = 4$

Paso 4.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x + 2)}^{2} + 4$ .

$- {(x + 2)}^{2} + 4 = y + 1$

Paso 5

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- {(x + 2)}^{2} = y + 1 - 4$

Paso 5.2

Resta $4$ de $1$ .

$- {(x + 2)}^{2} = y - 3$

Paso 6

Divide cada término en $- {(x + 2)}^{2} = y - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $- {(x + 2)}^{2} = y - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- {(x + 2)}^{2}}{- 1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.2.2

Divide ${(x + 2)}^{2}$ por $1$ .

${(x + 2)}^{2} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{y}{- 1}$ .

${(x + 2)}^{2} = - 1 \cdot y + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot y$ como $- y$ .

${(x + 2)}^{2} = - y + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.3.1.3

Divide $- 3$ por $- 1$ .

${(x + 2)}^{2} = - y + 3$

Paso 7

Factoriza.

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

${(x + 2)}^{2} = - (y) + 3$

Paso 7.2

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

${(x + 2)}^{2} = - (y) - 1 (- 3)$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (- 3)$ .

${(x + 2)}^{2} = - (y - 3)$