Precálculo Ejemplos

$y = \log (x^{3} - 36 x)$

Paso 1

Establece el argumento en $\log (x^{3} - 36 x)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{3} - 36 x > 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{3} - 36 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 36 x$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 36 x = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $x$ de $- 36 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 36 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 36$ .

$x (x^{2} - 36) = 0$

Paso 2.2.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza.

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Paso 2.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 6$ .

$x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

Paso 2.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x + 6) (x - 6) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 2.6

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 6) (x - 6) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 6, 6$

Paso 2.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Paso 2.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 2.9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

${(- 8)}^{3} - 36 \cdot - 8 > 0$

Paso 2.9.1.3

$- 224$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 6 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 6 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 2.9.2.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

${(- 3)}^{3} - 36 \cdot - 3 > 0$

Paso 2.9.2.3

$81$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.9.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 2.9.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

${(3)}^{3} - 36 \cdot 3 > 0$

Paso 2.9.3.3

$- 81$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.9.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 2.9.4.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

${(8)}^{3} - 36 \cdot 8 > 0$

Paso 2.9.4.3

$224$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.9.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Verdadero

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Verdadero

Paso 2.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 6 < x < 0$ o $x > 6$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- 6, 0) \cup (6, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 6 < x < 0, x > 6}$

Paso 4