Precálculo Ejemplos

$f (x) = {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{7}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = 6 x^{2} - 2 x + 9$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x^{2} - 2 x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 2 x + 9]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 2 x + 9]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x^{2} - 2 x + 9$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 2 x + 9]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{2} - 2 x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 2.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $6$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (12 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 2.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (12 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (12 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 2.7

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (12 x - 2 + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 2.8

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (12 x - 2 + 0)$

Paso 2.9

Suma $12 x - 2$ y $0$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (12 x - 2)$