Precálculo Ejemplos

$f (x) = {(2 x^{3} + 3)}^{4}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 2 x^{3} + 3$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x^{3} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{3} + 3$ .

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (6 x^{2} + 0)$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $6 x^{2}$ y $0$ .

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (6 x^{2})$

Paso 2.6.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$24 {(2 x^{3} + 3)}^{3} x^{2}$

Paso 2.6.3

Reordena los factores de $24 {(2 x^{3} + 3)}^{3} x^{2}$ .

$24 x^{2} {(2 x^{3} + 3)}^{3}$