Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} - 4 \sqrt{x} + 3$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4 \sqrt{x} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.10

Combina $- 4$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 x + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.12

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.13.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.13.2

Cancela el factor común.

$2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.13.3

Reescribe la expresión.

$2 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Paso 3.2

Suma $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$