Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 7$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = - 7$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Elimina los paréntesis.

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $5$ .

$- 16807 + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Paso 4.2.2

Eleva $- 7$ a la potencia de $4$ .

$- 16807 + 7 \cdot 2401 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Paso 4.2.3

Multiplica $7$ por $2401$ .

$- 16807 + 16807 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Paso 4.2.4

Eleva $- 7$ a la potencia de $3$ .

$- 16807 + 16807 + 2 \cdot - 343 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Paso 4.2.5

Multiplica $2$ por $- 343$ .

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Paso 4.2.6

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 \cdot 49 - 7 + 7$

Paso 4.2.7

Multiplica $14$ por $49$ .

$- 16807 + 16807 - 686 + 686 - 7 + 7$

$- 16807 + 16807 - 686 + 686 - 7 + 7$

Paso 4.3

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.3.1

Suma $- 16807$ y $16807$ .

$0 - 686 + 686 - 7 + 7$

Paso 4.3.2

Resta $686$ de $0$ .

$- 686 + 686 - 7 + 7$

Paso 4.3.3

Suma $- 686$ y $686$ .

$0 - 7 + 7$

Paso 4.3.4

Resta $7$ de $0$ .

$- 7 + 7$

Paso 4.3.5

Suma $- 7$ y $7$ .

$0$

$0$

$0$

Paso 5

Como $- 7$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 7$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7}{x + 7}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(- 7)$ y coloca el resultado de $(- 7)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(7)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$
	$1$	$0$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(- 7)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(2)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$
	$1$	$0$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$
	$1$	$0$	$2$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(- 7)$ y coloca el resultado de $(- 14)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(14)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$
	$1$	$0$	$2$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$
	$1$	$0$	$2$	$0$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(- 7)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(1)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$
	$1$	$0$	$2$	$0$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$

Paso 6.11

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(- 7)$ y coloca el resultado de $(- 7)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(7)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$	$- 7$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$

Paso 6.12

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$	$- 7$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$	$0$

Paso 6.13

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{4} + 0 x^{3} + 2 x^{2} + 0 x + 1$

Paso 6.14

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

Paso 7

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x + 7) {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1$

Paso 8

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$(x + 7) u^{2} + 2 u + 1$

Paso 9

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 9.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(x + 7) + u^{2} + 2 u + 1^{2}$

Paso 9.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Paso 9.3

Reescribe el polinomio.

$(x + 7) + u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}$

Paso 9.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 1$ .

$(x + 7) + {(u + 1)}^{2}$

$(x + 7) {(u + 1)}^{2}$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(x + 7) {(x^{2} + 1)}^{2}$

Paso 11

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 11.1

Reagrupa los términos.

$x^{5} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 11.2

Factoriza $x$ de $x^{5} + 2 x^{3} + x$ .

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Paso 11.2.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 11.2.2

Factoriza $x$ de $2 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 11.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 11.2.4

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 11.2.5

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 11.2.6

Factoriza $x$ de $x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 11.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 11.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 11.5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 11.5.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 11.5.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Paso 11.5.3

Reescribe el polinomio.

$x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 11.5.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 1$ .

$x {(u + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

$x {(u + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 11.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 11.7

Factoriza $7$ de $7 x^{4} + 14 x^{2} + 7$ .

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Paso 11.7.1

Factoriza $7$ de $7 x^{4}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 14 x^{2} + 7 = 0$

Paso 11.7.2

Factoriza $7$ de $14 x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 = 0$

Paso 11.7.3

Factoriza $7$ de $7$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Paso 11.7.4

Factoriza $7$ de $7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2})$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Paso 11.7.5

Factoriza $7$ de $7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1)$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Paso 11.8

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Paso 11.9

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Paso 11.10

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 11.10.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Paso 11.10.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Paso 11.10.3

Reescribe el polinomio.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 11.10.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 1$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(u + 1)}^{2} = 0$

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(u + 1)}^{2} = 0$

Paso 11.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Paso 11.12

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de $x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Paso 11.12.1

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de $x {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} x + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Paso 11.12.2

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de $7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7 = 0$

Paso 11.12.3

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

Paso 12

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

$x + 7 = 0$

Paso 13

Establece ${(x^{2} + 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece ${(x^{2} + 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Paso 13.2

Resuelve ${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 13.2.1

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 13.2.2

Resuelve $x$

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Paso 13.2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 13.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 13.2.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 13.2.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 13.2.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 13.2.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 13.2.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

$x = i, - i$

$x = i, - i$

$x = i, - i$

$x = i, - i$

Paso 14

Establece $x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.1

Establece $x + 7$ igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Paso 14.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

$x = - 7$

Paso 15

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$ verdadera.

$x = i, - i, - 7$

Paso 16

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$