Precálculo Ejemplos

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 14 x + 18 y = 7$

Paso 1

Divide ambos lados de la ecuación por $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 7 x + 9 y = \frac{7}{2}$

Paso 2

Completa el cuadrado de $x^{2} - 7 x$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 7$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 7}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$d = \frac{- 7}{2}$

Paso 2.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{7}{2}$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 7)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{49}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{49}{4}$

Paso 2.4.2.2

Resta $\frac{49}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{49}{4}$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$

Paso 3

Sustituye ${(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ por $x^{2} - 7 x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 7 x + 9 y = \frac{7}{2}$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4} + y^{2} + 9 y = \frac{7}{2}$

Paso 4

Mueve $- \frac{49}{4}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{49}{4}$ a ambos lados.

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + y^{2} + 9 y = \frac{7}{2} + \frac{49}{4}$

Paso 5

Completa el cuadrado de $y^{2} + 9 y$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 9$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{9}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$d = \frac{9}{2}$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{9^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{81}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{81}{4}$

Paso 5.4.2.2

Resta $\frac{81}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{81}{4}$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y + \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ .

${(y + \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$

Paso 6

Sustituye ${(y + \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ por $y^{2} + 9 y$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 7 x + 9 y = \frac{7}{2}$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4} = \frac{7}{2} + \frac{49}{4}$

Paso 7

Mueve $- \frac{81}{4}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{81}{4}$ a ambos lados.

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + \frac{9}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{49}{4} + \frac{81}{4}$

Paso 8

Simplifica $\frac{7}{2} + \frac{49}{4} + \frac{81}{4}$ .

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Paso 8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + \frac{9}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{49 + 81}{4}$

Paso 8.2

Suma $49$ y $81$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + \frac{9}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{130}{4}$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $130$ y $4$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $2$ de $130$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + \frac{9}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{2 (65)}{4}$

Paso 8.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + \frac{9}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 65}{2 \cdot 2}$

Paso 8.3.2.2

Cancela el factor común.

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + \frac{9}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 65}{2 \cdot 2}$

Paso 8.3.2.3

Reescribe la expresión.

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + \frac{9}{2})}^{2} = \frac{7}{2} + \frac{65}{2}$

Paso 8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + \frac{9}{2})}^{2} = \frac{7 + 65}{2}$

Paso 8.5

Simplifica la expresión.

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Paso 8.5.1

Suma $7$ y $65$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + \frac{9}{2})}^{2} = \frac{72}{2}$

Paso 8.5.2

Divide $72$ por $2$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + \frac{9}{2})}^{2} = 36$

Paso 9

Esta es la forma de un círculo. Usa esta forma para determinar el centro y el radio del círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Paso 10

Haz coincidir los valores de este círculo con los de la ecuación ordinaria. La variable $r$ representa el radio del círculo, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$r = 6$

$h = \frac{7}{2}$

$k = - \frac{9}{2}$

Paso 11

El centro del círculo se ubica en $(h, k)$ .

Centro: $(\frac{7}{2}, - \frac{9}{2})$

Paso 12

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de un círculo.

Centro: $(\frac{7}{2}, - \frac{9}{2})$

Radio: $6$

Paso 13