Precálculo Ejemplos

$y = 2 e^{x - 2}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 2 e^{y - 2}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $2 e^{y - 2} = x$ .

$2 e^{y - 2} = x$

Paso 2.2

Divide cada término en $2 e^{y - 2} = x$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $2 e^{y - 2} = x$ por $2$ .

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $e^{y - 2}$ por $1$ .

$e^{y - 2} = \frac{x}{2}$

Paso 2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y - 2}) = \ln (\frac{x}{2})$

Paso 2.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Expande $\ln (e^{y - 2})$ ; para ello, mueve $y - 2$ fuera del logaritmo.

$(y - 2) \ln (e) = \ln (\frac{x}{2})$

Paso 2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(y - 2) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{2})$

Paso 2.4.3

Multiplica $y - 2$ por $1$ .

$y - 2 = \ln (\frac{x}{2})$

Paso 2.5

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \ln (\frac{x}{2}) + 2$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$ es la inversa de $f (x) = 2 e^{x - 2}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2 e^{x - 2})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = \ln (\frac{2 e^{x - 2}}{2}) + 2$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = \ln (\frac{2 e^{x - 2}}{2}) + 2$

Paso 4.2.3.1.2

Divide $e^{x - 2}$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = \ln (e^{x - 2}) + 2$

Paso 4.2.3.2

Usa las reglas de logaritmos para mover $x - 2$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = (x - 2) \ln (e) + 2$

Paso 4.2.3.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = (x - 2) \cdot 1 + 2$

Paso 4.2.3.4

Multiplica $x - 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = x - 2 + 2$

Paso 4.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 2 + 2$ .

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Paso 4.2.4.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = x + 0$

Paso 4.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\ln (\frac{x}{2}) + 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 e^{(\ln (\frac{x}{2}) + 2) - 2}$

Paso 4.3.3

Combina los términos opuestos en $(\ln (\frac{x}{2}) + 2) - 2$ .

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Paso 4.3.3.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2}) + 0}$

Paso 4.3.3.2

Suma $\ln (\frac{x}{2})$ y $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2})}$

Paso 4.3.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 4.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$ es la inversa de $f (x) = 2 e^{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$