Precálculo Ejemplos

$\sin (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1

Multiplica cada término por un factor de $1$ que igualará todos los denominadores. En este caso, todos los términos necesitan un denominador de $2$ .

$\sin (4 x) \cdot \frac{2}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 2

Multiplica la expresión por un factor de $1$ para crear el mínimo común denominador (mcd) de $2$ .

$\sin (4 x) \cdot 2$

Paso 3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sin (4 x)$ .

$\frac{2 \sin (4 x)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 4

Simplifica $\sin (4 x) \cdot \frac{2}{2}$ .

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Paso 4.1

Divide $2$ por $2$ .

$\sin (4 x) \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 4.2

Multiplica $\sin (4 x)$ por $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 5

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$4 x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$4 x = \frac{π}{3}$

Paso 7

Divide cada término en $4 x = \frac{π}{3}$ por $4$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $4 x = \frac{π}{3}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Paso 7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 7.3.2

Multiplica $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 7.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 4}$

Paso 7.3.2.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$x = \frac{π}{12}$

Paso 8

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$4 x = π - \frac{π}{3}$

Paso 9

Resuelve $x$

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$4 x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 9.1.2

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 9.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 9.1.4

Resta $π$ de $π \cdot 3$ .

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Paso 9.1.4.1

Reordena $π$ y $3$ .

$4 x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 9.1.4.2

Resta $π$ de $3 \cdot π$ .

$4 x = \frac{2 \cdot π}{3}$

Paso 9.2

Divide cada término en $4 x = \frac{2 \cdot π}{3}$ por $4$ y simplifica.

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Paso 9.2.1

Divide cada término en $4 x = \frac{2 \cdot π}{3}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{4}$

Paso 9.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 9.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{4}$

Paso 9.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{4}$

Paso 9.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{2 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 9.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 9.2.3.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)}$

Paso 9.2.3.2.3

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 9.2.3.2.4

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 9.2.3.3

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Paso 9.2.3.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 10

Obtén el período de $\sin (4 x)$ .

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Paso 10.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 10.2

Reemplaza $b$ con $4$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Paso 10.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Paso 10.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 10.4.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Paso 10.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Paso 10.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Paso 10.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π}{2}$

Paso 11

El período de la función $\sin (4 x)$ es $\frac{π}{2}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{π}{2}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$