Precálculo Ejemplos

$x^{2} + 6 x - 4 y + 1 = 0$

Paso 1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x - 4 y + 1 = - x^{2}$

Paso 1.1.2

Resta $6 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y + 1 = - x^{2} - 6 x$

Paso 1.1.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y = - x^{2} - 6 x - 1$

Paso 1.2

Divide cada término en $- 4 y = - x^{2} - 6 x - 1$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $- 4 y = - x^{2} - 6 x - 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- x^{2}}{- 4} + \frac{- 6 x}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- x^{2}}{- 4} + \frac{- 6 x}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{- 4} + \frac{- 6 x}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Paso 1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $- 4$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 (3 x)}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Paso 1.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.2.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 (3 x)}{- 2 (2)} + \frac{- 1}{- 4}$

Paso 1.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 (3 x)}{- 2 \cdot 2} + \frac{- 1}{- 4}$

Paso 1.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{- 1}{- 4}$

Paso 1.2.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{1}{4}$

Paso 2

Completa el cuadrado de $\frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{1}{4}$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{3}{2}$

$c = \frac{1}{4}$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.3.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Paso 2.3.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.3.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Paso 2.3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 2.3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 2.3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{3}{2} (1 \cdot 2)$

Paso 2.3.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.5.1

Factoriza $2$ de $1 \cdot 2$ .

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Paso 2.3.2.5.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Paso 2.3.2.5.3

Reescribe la expresión.

$d = 3$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.4.2.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{9}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.4.2.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{\frac{4}{4}}$

Paso 2.4.2.1.3

Divide $4$ por $4$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{1}$

Paso 2.4.2.1.4

Divide $\frac{9}{4}$ por $1$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{9}{4}$

Paso 2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{1 - 9}{4}$

Paso 2.4.2.3

Resta $9$ de $1$ .

$e = \frac{- 8}{4}$

Paso 2.4.2.4

Divide $- 8$ por $4$ .

$e = - 2$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 2$

Paso 3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 3)}^{2} - 2$