Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{4} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{4} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$ no está definida.

$x = - 4, x = 0, x = 1$

Paso 2

Como $\frac{x^{4} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $1$ desde la izquierda y $\frac{x^{4} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $1$ desde la derecha, entonces $x = 1$ es una asíntota vertical.

$x = 1$

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 4$

$m = 3$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} - 16 x^{2}$ .

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Paso 6.1.1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Paso 6.1.1.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 16 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Paso 6.1.1.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 16)}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Paso 6.1.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 4^{2})}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Paso 6.1.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Paso 6.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$ .

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Paso 6.1.2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + 3 x^{2} - 4 x}$

Paso 6.1.2.1.2

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + x (3 x) - 4 x}$

Paso 6.1.2.1.3

Factoriza $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot - 4}$

Paso 6.1.2.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (3 x)$ .

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x (x^{2} + 3 x) + x \cdot - 4}$

Paso 6.1.2.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} + 3 x) + x \cdot - 4$ .

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x (x^{2} + 3 x - 4)}$

Paso 6.1.2.2

Factoriza $x^{2} + 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 6.1.2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $3$ .

$- 1, 4$

Paso 6.1.2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x ((x - 1) (x + 4))}$

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x (x - 1) (x + 4)}$

Paso 6.1.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.1.3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 6.1.3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{x ((x (x + 4)) (x - 4))}{x (x - 1) (x + 4)}$

Paso 6.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $x (x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{x ((x (x + 4)) (x - 4))}{x ((x - 1) (x + 4))}$

Paso 6.1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x ((x (x + 4)) (x - 4))}{x ((x - 1) (x + 4))}$

Paso 6.1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x (x + 4)) (x - 4)}{(x - 1) (x + 4)}$

Paso 6.1.3.2

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 6.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{(x - 1) (x + 4)}$

Paso 6.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x) (x - 4)}{x - 1}$

$\frac{x (x - 4)}{x - 1}$

Paso 6.2

Expande $x (x - 4)$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{x - 1}$

Paso 6.2.2

Reordena $x$ y $- 4$ .

$\frac{x \cdot x - 4 x}{x - 1}$

Paso 6.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 4 x}{x - 1}$

Paso 6.2.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 4 x}{x - 1}$

Paso 6.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 1} - 4 x}{x - 1}$

Paso 6.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 x}{x - 1}$

Paso 6.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

Paso 6.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$

Paso 6.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

Paso 6.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} - x$ .

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

Paso 6.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$

Paso 6.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$

Paso 6.9

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 3 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$

Paso 6.10

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	+	$3$

Paso 6.11

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 3 x + 3$ .

				$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	-	$3$

Paso 6.12

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	-	$3$
							-	$3$

Paso 6.13

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x - 3 - \frac{3}{x - 1}$

Paso 6.14

Divide la solución en la parte polinómica y el resto.

$x - 3 + \frac{- 3 x^{2} - 12 x}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Paso 6.15

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x - 3$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 1$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x - 3$

Paso 8