Precálculo Ejemplos

$\sec (u) - \tan (u) = \frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$

Paso 1

Comienza por el lado derecho.

$\frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$

Paso 2

Multiplica $\frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$ por $\frac{1 - \sin (u)}{1 - \sin (u)}$ .

$\frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)} \cdot \frac{1 - \sin (u)}{1 - \sin (u)}$

Paso 3

Combinar.

$\frac{\cos (u) (1 - \sin (u))}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (u) \cdot 1 + \cos (u) (- \sin (u))}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

Paso 4.2

Multiplica $\cos (u)$ por $1$ .

$\frac{\cos (u) + \cos (u) (- \sin (u))}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

Paso 4.3

Reordena los factores en $\cos (u) + \cos (u) (- \sin (u))$ .

$\frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Expande $(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 (1 - \sin (u)) + \sin (u) (1 - \sin (u))}$

Paso 5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (u)) + \sin (u) (1 - \sin (u))}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (u)) + \sin (u) \cdot 1 + \sin (u) (- \sin (u))}$

Paso 5.2

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 - \sin^{2} (u)}$

Paso 6

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{\cos^{2} (u)}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Factoriza $\cos (u)$ de $\cos (u) - \cos (u) \sin (u)$ .

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Paso 7.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{\cos (u) \cdot 1 - \cos (u) \sin (u)}{{\cos (u)}^{2}}$

Paso 7.1.2

Factoriza $\cos (u)$ de $- \cos (u) \sin (u)$ .

$\frac{\cos (u) \cdot 1 + \cos (u) (- \sin (u))}{{\cos (u)}^{2}}$

Paso 7.1.3

Factoriza $\cos (u)$ de $\cos (u) \cdot 1 + \cos (u) (- \sin (u))$ .

$\frac{\cos (u) (1 - \sin (u))}{{\cos (u)}^{2}}$

Paso 7.2

Cancela los factores comunes.

$\frac{1 - \sin (u)}{\cos (u)}$

Paso 8

Ahora considera el lado izquierdo de la ecuación.

$\sec (u) - \tan (u)$

Paso 9

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 9.1

Aplica la identidad recíproca a $\sec (u)$ .

$\frac{1}{\cos (u)} - \tan (u)$

Paso 9.2

Escribe $\tan (u)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - \sin (u)}{\cos (u)}$

Paso 11

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\sec (u) - \tan (u) = \frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$ es una identidad