Precálculo Ejemplos

$\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)} = \frac{1 + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Paso 1

Comienza por el lado derecho.

$\frac{1 + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Paso 2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 \sin (θ) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (θ)$

Paso 2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = 1$ y $b = \sin (θ)$ .

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{\cos^{2} (θ)}$

Paso 3

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{1 - \sin^{2} (θ)}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{1^{2} - {\sin (θ)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \sin (θ)$ .

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de ${(1 + \sin (θ))}^{2}$ y $1 + \sin (θ)$ .

$\frac{1 + \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$

Paso 5

Reescribe $\frac{1 + \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ como $\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)}$ .

$\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)}$

Paso 6

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)} = \frac{1 + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ es una identidad