Precálculo Ejemplos

$x^{3} + 9 x^{2} < - 6 x + 56$

Paso 1

Suma $6 x$ a ambos lados de la desigualdad.

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x < 56$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x = 56$

Paso 3

Resta $56$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56 = 0$

Paso 4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Factoriza $x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 4.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

$q = \pm 1$

Paso 4.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

Paso 4.1.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$2^{3} + 9 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 56$

Paso 4.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 + 9 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 56$

Paso 4.1.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 + 9 \cdot 4 + 6 \cdot 2 - 56$

Paso 4.1.3.4

Multiplica $9$ por $4$ .

$8 + 36 + 6 \cdot 2 - 56$

Paso 4.1.3.5

Suma $8$ y $36$ .

$44 + 6 \cdot 2 - 56$

Paso 4.1.3.6

Multiplica $6$ por $2$ .

$44 + 12 - 56$

Paso 4.1.3.7

Suma $44$ y $12$ .

$56 - 56$

Paso 4.1.3.8

Resta $56$ de $56$ .

$0$

Paso 4.1.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56}{x - 2}$

Paso 4.1.5

Divide $x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ por $x - 2$ .

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Paso 4.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$6 x$

$56$

Paso 4.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$

Paso 4.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 4.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 4.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$

Paso 4.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$

Paso 4.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $11 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$

Paso 4.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$

Paso 4.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $11 x^{2} - 22 x$ .

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$

Paso 4.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$

Paso 4.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$

Paso 4.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $28 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$

Paso 4.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$
							+	$28 x$	-	$56$

Paso 4.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $28 x - 56$ .

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$
							-	$28 x$	+	$56$

Paso 4.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$
							-	$28 x$	+	$56$
										$0$

Paso 4.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + 11 x + 28$

Paso 4.1.6

Escribe $x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ como un conjunto de factores.

$(x - 2) (x^{2} + 11 x + 28) = 0$

Paso 4.2

Factoriza $x^{2} + 11 x + 28$ con el método AC.

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Paso 4.2.1

Factoriza $x^{2} + 11 x + 28$ con el método AC.

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Paso 4.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $28$ y cuya suma es $11$ .

$4, 7$

Paso 4.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 2) ((x + 4) (x + 7)) = 0$

Paso 4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 2) (x + 4) (x + 7) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 7 = 0$

Paso 6

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 7

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 7.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 8

Establece $x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x + 7$ igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Paso 8.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x + 4) (x + 7) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 4, - 7$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$x > 2$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

${(- 10)}^{3} + 9 {(- 10)}^{2} < - 6 \cdot - 10 + 56$

Paso 11.1.3

$- 100$ del lado izquierdo es menor que $116$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 7 < x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 7 < x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

${(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} < - 6 \cdot - 6 + 56$

Paso 11.2.3

$108$ del lado izquierdo no es menor que $92$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{3} + 9 {(0)}^{2} < - 6 \cdot 0 + 56$

Paso 11.3.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $56$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{3} + 9 {(4)}^{2} < - 6 \cdot 4 + 56$

Paso 11.4.3

$208$ del lado izquierdo no es menor que $32$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 7$ Verdadero

$- 7 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

$x < - 7$ Verdadero

$- 7 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 7$ o $- 4 < x < 2$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 7) \cup (- 4, 2)$

Paso 14