Precálculo Ejemplos

$x^{2} + 2 x > 15$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} + 2 x = 15$

Paso 2

Resta $15$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

Paso 3

Factoriza $x^{2} + 2 x - 15$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $2$ .

$- 3, 5$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x + 5) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 6

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 6.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 5$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < 3$

$x > 3$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

${(- 8)}^{2} + 2 (- 8) > 15$

Paso 9.1.3

$48$ del lado izquierdo es mayor que $15$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} + 2 (0) > 15$

Paso 9.2.3

$0$ del lado izquierdo no es mayor que $15$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

${(6)}^{2} + 2 (6) > 15$

Paso 9.3.3

$48$ del lado izquierdo es mayor que $15$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 5$ o $x > 3$

Paso 11

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 5) \cup (3, \infty)$

Paso 12