Precálculo Ejemplos

$3 x \leq 20 - 2 x^{2}$

Paso 1

Suma $2 x^{2}$ a ambos lados de la desigualdad.

$3 x + 2 x^{2} \leq 20$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$3 x + 2 x^{2} = 20$

Paso 3

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x + 2 x^{2} - 20 = 0$

Paso 4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$3 u + 2 u^{2} - 20 = 0$

Paso 4.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.2.1

Reordena los términos.

$2 u^{2} + 3 u - 20 = 0$

Paso 4.2.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 20 = - 40$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $3$ de $3 u$ .

$2 u^{2} + 3 (u) - 20 = 0$

Paso 4.2.2.2

Reescribe $3$ como $- 5$ más $8$

$2 u^{2} + (- 5 + 8) u - 20 = 0$

Paso 4.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} - 5 u + 8 u - 20 = 0$

Paso 4.2.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 u^{2} - 5 u) + 8 u - 20 = 0$

Paso 4.2.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (2 u - 5) + 4 (2 u - 5) = 0$

Paso 4.2.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 5$ .

$(2 u - 5) (u + 4) = 0$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(2 x - 5) (x + 4) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 6

Establece $2 x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $2 x - 5$ igual a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $2 x - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 5$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $2 x = 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Paso 7

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 7.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x - 5) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = \frac{5}{2}, - 4$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$3 (- 6) \leq 20 - 2 {(- 6)}^{2}$

Paso 10.1.3

$- 18$ del lado izquierdo es mayor que $- 52$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < \frac{5}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < \frac{5}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$3 (0) \leq 20 - 2 {(0)}^{2}$

Paso 10.2.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $20$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{5}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{5}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$3 (5) \leq 20 - 2 {(5)}^{2}$

Paso 10.3.3

$15$ del lado izquierdo es mayor que $- 30$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < \frac{5}{2}$ Verdadero

$x > \frac{5}{2}$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < \frac{5}{2}$ Verdadero

$x > \frac{5}{2}$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 4 \leq x \leq \frac{5}{2}$

Paso 12

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$[- 4, \frac{5}{2}]$

Paso 13