Precálculo Ejemplos

$5 x^{2} + 17 x < 12$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$5 x^{2} + 17 x = 12$

Paso 2

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x^{2} + 17 x - 12 = 0$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot - 12 = - 60$ y cuya suma es $b = 17$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $17$ de $17 x$ .

$5 x^{2} + 17 (x) - 12 = 0$

Paso 3.1.2

Reescribe $17$ como $- 3$ más $20$

$5 x^{2} + (- 3 + 20) x - 12 = 0$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} - 3 x + 20 x - 12 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(5 x^{2} - 3 x) + 20 x - 12 = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (5 x - 3) + 4 (5 x - 3) = 0$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 x - 3$ .

$(5 x - 3) (x + 4) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5 x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 5

Establece $5 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $5 x - 3$ igual a $0$ .

$5 x - 3 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $5 x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 3$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $5 x = 3$ por $5$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $5 x = 3$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{5}$

Paso 6

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 6.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(5 x - 3) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3}{5}, - 4$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < \frac{3}{5}$

$x > \frac{3}{5}$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$5 {(- 6)}^{2} + 17 (- 6) < 12$

Paso 9.1.3

$78$ del lado izquierdo no es menor que $12$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < \frac{3}{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < \frac{3}{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$5 {(0)}^{2} + 17 (0) < 12$

Paso 9.2.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $12$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{3}{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{3}{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$5 {(3)}^{2} + 17 (3) < 12$

Paso 9.3.3

$96$ del lado izquierdo no es menor que $12$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < \frac{3}{5}$ Verdadero

$x > \frac{3}{5}$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < \frac{3}{5}$ Verdadero

$x > \frac{3}{5}$ Falso

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 4 < x < \frac{3}{5}$

Paso 11

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 4, \frac{3}{5})$

Paso 12