Precálculo Ejemplos

$(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$

Paso 1

Para obtener $\cos (θ)$ entre el eje x y la línea entre los puntos $(0, 0)$ y $(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$ , dibuja el triángulo entre los tres puntos $(0, 0)$ , $(5 \frac{1}{2}, 0)$ y $(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$ .

Opuesto: $- 2 \sqrt{15}$

Adyacente: $5 \frac{1}{2}$

Paso 2

Obtén la hipotenusa con el teorema de Pitágoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Paso 2.1

Convierte $5 \frac{1}{2}$ en una fracción impropia.

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Paso 2.1.1

Un número mixto es una suma de sus partes entera y fraccionaria.

$\sqrt{{(5 + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Paso 2.1.2

Suma $5$ y $\frac{1}{2}$ .

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Paso 2.1.2.1

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{{(5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Combina $5$ y $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{{(\frac{5 \cdot 2 + 1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Paso 2.1.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.4.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$\sqrt{{(\frac{10 + 1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.2

Suma $10$ y $1$ .

$\sqrt{{(\frac{11}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Paso 2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{11}{2}$ .

$\sqrt{\frac{11^{2}}{2^{2}} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Paso 2.2.2

Eleva $11$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{121}{2^{2}} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Paso 2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Paso 2.2.4

Aplica la regla del producto a $- 2 \sqrt{15}$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + {(- 2)}^{2} {\sqrt{15}}^{2}}$

Paso 2.2.5

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 {\sqrt{15}}^{2}}$

Paso 2.3

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Paso 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{1}}$

Paso 2.3.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15}$

Paso 2.4

Multiplica $4$ por $15$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 60}$

Paso 2.5

Para escribir $60$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 60 \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 2.6

Combina $60$ y $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + \frac{60 \cdot 4}{4}}$

Paso 2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{121 + 60 \cdot 4}{4}}$

Paso 2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.1

Multiplica $60$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{121 + 240}{4}}$

Paso 2.8.2

Suma $121$ y $240$ .

$\sqrt{\frac{361}{4}}$

Paso 2.9

Reescribe $\sqrt{\frac{361}{4}}$ como $\frac{\sqrt{361}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{361}}{\sqrt{4}}$

Paso 2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.1

Reescribe $361$ como $19^{2}$ .

$\frac{\sqrt{19^{2}}}{\sqrt{4}}$

Paso 2.10.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{19}{\sqrt{4}}$

Paso 2.11

Simplifica el denominador.

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Paso 2.11.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{19}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 2.11.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{19}{2}$

Paso 3

$\cos (θ) = \frac{Adyacente}{Hipotenusa}$ por lo tanto $\cos (θ) = \frac{5 \frac{1}{2}}{\frac{19}{2}}$ .

$\frac{5 \frac{1}{2}}{\frac{19}{2}}$

Paso 4

Simplifica $\cos (θ)$ .

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Paso 4.1

Convierte $5 \frac{1}{2}$ en una fracción impropia.

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Paso 4.1.1

Un número mixto es una suma de sus partes entera y fraccionaria.

$\cos (θ) = \frac{5 + \frac{1}{2}}{\frac{19}{2}}$

Paso 4.1.2

Suma $5$ y $\frac{1}{2}$ .

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Paso 4.1.2.1

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}{\frac{19}{2}}$

Paso 4.1.2.2

Combina $5$ y $\frac{2}{2}$ .

$\cos (θ) = \frac{\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}{\frac{19}{2}}$

Paso 4.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\cos (θ) = \frac{\frac{5 \cdot 2 + 1}{2}}{\frac{19}{2}}$

Paso 4.1.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$\cos (θ) = \frac{\frac{10 + 1}{2}}{\frac{19}{2}}$

Paso 4.1.2.4.2

Suma $10$ y $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\frac{11}{2}}{\frac{19}{2}}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\cos (θ) = \frac{11}{2} \cdot \frac{2}{19}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$\cos (θ) = \frac{11}{2} \cdot \frac{2}{19}$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$\cos (θ) = 11 (\frac{1}{19})$

Paso 4.4

Combina $11$ y $\frac{1}{19}$ .

$\cos (θ) = \frac{11}{19}$

Paso 5

Aproxima el resultado.

$\cos (θ) = \frac{11}{19} \approx 0.57894736$