Precálculo Ejemplos

$\tan (\sin^{-1} (w))$

Paso 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - w^{2}}, w)$ , $(\sqrt{1^{2} - w^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\sin^{-1} (w)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - w^{2}}, w)$ . Por lo tanto, $\tan (\sin^{-1} (w))$ es $\frac{w}{\sqrt{1 - w^{2}}}$ .

$\frac{w}{\sqrt{1 - w^{2}}}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{w}{\sqrt{1^{2} - w^{2}}}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , donde $a = 1$ y $i = w$ .

$\frac{w}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$

Paso 3

Multiplica $\frac{w}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$ .

$\frac{w}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$

Paso 4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{w}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$ .

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)} \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$

Paso 4.2

Eleva $\sqrt{(1 + w) (1 - w)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}^{1} \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$

Paso 4.3

Eleva $\sqrt{(1 + w) (1 - w)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}^{1} {\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}^{1}}$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}^{1 + 1}}$

Paso 4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}^{2}}$

Paso 4.6

Reescribe ${\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}^{2}$ como $(1 + w) (1 - w)$ .

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Paso 4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(1 + w) (1 - w)}$ como ${((1 + w) (1 - w))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{({((1 + w) (1 - w))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{((1 + w) (1 - w))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{((1 + w) (1 - w))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{((1 + w) (1 - w))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{((1 + w) (1 - w))}^{1}}$

Paso 4.6.5

Simplifica.

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{(1 + w) (1 - w)}$