Precálculo Ejemplos

$(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$

Paso 1

Para obtener $\cos (θ)$ entre el eje x y la línea entre los puntos $(0, 0)$ y $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ , dibuja el triángulo entre los tres puntos $(0, 0)$ , $(\frac{3 π}{2}, 0)$ y $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ .

Opuesto: $\frac{7 π}{4}$

Adyacente: $\frac{3 π}{2}$

Paso 2

Obtén la hipotenusa con el teorema de Pitágoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Paso 2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 π}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{(3 π)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Paso 2.1.2

Aplica la regla del producto a $3 π$ .

$\sqrt{\frac{3^{2} π^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Paso 2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Paso 2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{7 π}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{{(7 π)}^{2}}{4^{2}}}$

Paso 2.4.2

Aplica la regla del producto a $7 π$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{7^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

Paso 2.5

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{49 π^{2}}{4^{2}}}$

Paso 2.6

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Paso 2.7

Para escribir $\frac{9 π^{2}}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Paso 2.8

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.8.1

Multiplica $\frac{9 π^{2}}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Paso 2.8.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4}{16} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Paso 2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4 + 49 π^{2}}{16}}$

Paso 2.10

Reescribe $\frac{9 π^{2} \cdot 4 + 49 π^{2}}{16}$ en forma factorizada.

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Paso 2.10.1

Multiplica $4$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{36 π^{2} + 49 π^{2}}{16}}$

Paso 2.10.2

Suma $36 π^{2}$ y $49 π^{2}$ .

$\sqrt{\frac{85 π^{2}}{16}}$

Paso 2.11

Reescribe $\sqrt{\frac{85 π^{2}}{16}}$ como $\frac{\sqrt{85 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{85 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Paso 2.12

Simplifica el numerador.

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Paso 2.12.1

Reordena $85$ y $π^{2}$ .

$\frac{\sqrt{π^{2} \cdot 85}}{\sqrt{16}}$

Paso 2.12.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{π \sqrt{85}}{\sqrt{16}}$

Paso 2.13

Simplifica el denominador.

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Paso 2.13.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{π \sqrt{85}}{\sqrt{4^{2}}}$

Paso 2.13.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{π \sqrt{85}}{4}$

Paso 3

$\cos (θ) = \frac{Adyacente}{Hipotenusa}$ por lo tanto $\cos (θ) = \frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{π \sqrt{85}}{4}}$ .

$\frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{π \sqrt{85}}{4}}$

Paso 4

Simplifica $\cos (θ)$ .

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Paso 4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\cos (θ) = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $π$ de $3 π$ .

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

Paso 4.2.2

Factoriza $π$ de $π \sqrt{85}$ .

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π (\sqrt{85})}$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común.

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

Paso 4.2.4

Reescribe la expresión.

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{85}}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 (2)}{\sqrt{85}}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común.

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{85}}$

Paso 4.3.3

Reescribe la expresión.

$\cos (θ) = 3 (\frac{2}{\sqrt{85}})$

Paso 4.4

Combina $3$ y $\frac{2}{\sqrt{85}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{85}}$

Paso 4.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$\cos (θ) = \frac{6}{\sqrt{85}}$

Paso 4.6

Multiplica $\frac{6}{\sqrt{85}}$ por $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\cos (θ) = \frac{6}{\sqrt{85}} \cdot \frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$

Paso 4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $\frac{6}{\sqrt{85}}$ por $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Paso 4.7.2

Eleva $\sqrt{85}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Paso 4.7.3

Eleva $\sqrt{85}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Paso 4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{1 + 1}}$

Paso 4.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{2}}$

Paso 4.7.6

Reescribe ${\sqrt{85}}^{2}$ como $85$ .

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Paso 4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{85}$ como $85^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{(85^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

Paso 4.7.6.5

Evalúa el exponente.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

Paso 5

Aproxima el resultado.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85} \approx 0.65079137$