Precálculo Ejemplos

${(\sqrt{3} + i)}^{5}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

${\sqrt{3}}^{5} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{5}$ como $\sqrt{3^{5}}$ .

$\sqrt{3^{5}} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$\sqrt{243} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.3

Reescribe $243$ como $9^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.1.3.1

Factoriza $81$ de $243$ .

$\sqrt{81 (3)} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.3.2

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$\sqrt{9^{2} \cdot 3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$9 \sqrt{3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

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Paso 2.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \sqrt{3} + 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{4}{2}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.5.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.1.5.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.5.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.5.4.2.2

Cancela el factor común.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2}{1}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.5.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{2} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 9 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.7

Multiplica $5$ por $9$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.8

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{3^{3}} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.9

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{27} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.10

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.1.10.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{9 (3)} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.10.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.11

Retira los términos de abajo del radical.

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 (3 \sqrt{3}) i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.12

Multiplica $3$ por $10$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.13

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} \cdot - 1 + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.14

Multiplica $- 1$ por $30$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.15

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.15.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.15.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.15.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.15.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.15.4.1

Cancela el factor común.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.15.4.2

Reescribe la expresión.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{1} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.15.5

Evalúa el exponente.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3 i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.16

Multiplica $10$ por $3$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.17

Factoriza $i^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (i^{2} \cdot i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.18

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- 1 \cdot i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.19

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.20

Multiplica $- 1$ por $30$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Paso 2.1.21

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.21.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

Paso 2.1.21.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + i^{5}$

Paso 2.1.21.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} \cdot 1 + i^{5}$

Paso 2.1.22

Multiplica $5$ por $1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i^{5}$

Paso 2.1.23

Factoriza $i^{4}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i^{4} i$

Paso 2.1.24

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.24.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + {(i^{2})}^{2} i$

Paso 2.1.24.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + {(- 1)}^{2} i$

Paso 2.1.24.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + 1 i$

Paso 2.1.25

Multiplica $i$ por $1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Resta $30 \sqrt{3}$ de $9 \sqrt{3}$ .

$45 i - 21 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i$

Paso 2.2.2

Resta $30 i$ de $45 i$ .

$15 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} + i$

Paso 2.2.3

Suma $15 i$ y $i$ .

$16 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}$

Paso 2.2.4

Suma $- 21 \sqrt{3}$ y $5 \sqrt{3}$ .

$16 i - 16 \sqrt{3}$

Paso 2.2.5

Reordena $16 i$ y $- 16 \sqrt{3}$ .

$- 16 \sqrt{3} + 16 i$

Paso 3

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 4

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 5

Sustituye los valores reales de $a = - 16 \sqrt{3}$ y $b = 16$ .

$| z | = \sqrt{16^{2} + {(- 16 \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 6

Obtén $| z |$ .

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{256 + {(- 16 \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 6.1.2

Aplica la regla del producto a $- 16 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{256 + {(- 16)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 6.1.3

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 6.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.2.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3}$

Paso 6.2.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3}$

Paso 6.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.3.1

Multiplica $256$ por $3$ .

$| z | = \sqrt{256 + 768}$

Paso 6.3.2

Suma $256$ y $768$ .

$| z | = \sqrt{1024}$

Paso 6.3.3

Reescribe $1024$ como $32^{2}$ .

$| z | = \sqrt{32^{2}}$

Paso 6.3.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 32$

Paso 7

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{16}{- 16 \sqrt{3}})$

Paso 8

Como la tangente inversa de $\frac{16}{- 16 \sqrt{3}}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es $\frac{5 π}{6}$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Paso 9

Sustituye los valores de $θ = \frac{5 π}{6}$ y $| z | = 32$ .

$32 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$