Precálculo Ejemplos

${(\sqrt{3} (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6})))}^{4}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.

${(\sqrt{3} (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6})))}^{4}$

Paso 1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{7 π}{6})))}^{4}$

Paso 1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

${(\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (- \sin (\frac{π}{6}))))}^{4}$

Paso 1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

${(\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (- \frac{1}{2})))}^{4}$

Paso 1.5

Combina $i$ y $\frac{1}{2}$ .

${(\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}))}^{4}$

Paso 2

Aplica la propiedad distributiva.

${(\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3} (- \frac{i}{2}))}^{4}$

Paso 3

Multiplica $\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

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Paso 3.1

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} (- \frac{i}{2}))}^{4}$

Paso 3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

${(- \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} (- \frac{i}{2}))}^{4}$

Paso 3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

${(- \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} + \sqrt{3} (- \frac{i}{2}))}^{4}$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(- \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \sqrt{3} (- \frac{i}{2}))}^{4}$

Paso 3.5

Suma $1$ y $1$ .

${(- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \sqrt{3} (- \frac{i}{2}))}^{4}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{i}{2}$ .

${(- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 4.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 4.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

${(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

${(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe la expresión.

${(- \frac{3^{1}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 4.2.5

Evalúa el exponente.

${(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 5

Usa el teorema del binomio.

${(- \frac{3}{2})}^{4} + 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{3} i}{2}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

${(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{3} i}{2}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

${(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{3} i}{2}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$1 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{3} i}{2}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.3

Multiplica $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$\frac{3^{4}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{3} i}{2}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{81}{2^{4}} + 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{3} i}{2}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{81}{16} + 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{3} i}{2}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3} i}{2}$ al numerador.

$\frac{81}{16} + 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} \frac{- \sqrt{3} i}{2} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.6.2

Factoriza $2$ de $4 {(- \frac{3}{2})}^{3}$ .

$\frac{81}{16} + 2 (2 {(- \frac{3}{2})}^{3}) \frac{- \sqrt{3} i}{2} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.6.3

Cancela el factor común.

Paso 6.1.6.4

Reescribe la expresión.

$\frac{81}{16} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} (- \sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{81}{16} - 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.8

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.1.8.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{16} - 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.8.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{16} - 2 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{81}{16} - 2 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.10

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{81}{16} - 2 (- \frac{27}{2^{3}}) (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.11

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{81}{16} - 2 (- \frac{27}{8}) (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.12

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.12.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{27}{8}$ al numerador.

$\frac{81}{16} - 2 (\frac{- 27}{8}) (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.12.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{81}{16} + 2 (- 1) \frac{- 27}{8} (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.12.3

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{81}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{- 27}{2 \cdot 4} (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.12.4

Cancela el factor común.

Paso 6.1.12.5

Reescribe la expresión.

$\frac{81}{16} - 1 (\frac{- 27}{4}) (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{81}{16} - 1 (- \frac{27}{4}) (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.14

Multiplica $- 1 (- \frac{27}{4})$ .

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Paso 6.1.14.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{81}{16} + 1 (\frac{27}{4}) (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.14.2

Multiplica $\frac{27}{4}$ por $1$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27}{4} (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.15

Multiplica $\frac{27}{4} (\sqrt{3} i)$ .

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Paso 6.1.15.1

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{27}{4}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{\sqrt{3} \cdot 27}{4} i + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.15.2

Combina $\frac{\sqrt{3} \cdot 27}{4}$ y $i$ .

$\frac{81}{16} + \frac{\sqrt{3} \cdot 27 i}{4} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.16

Mueve $27$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.17

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.1.17.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.17.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 6 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.18

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 6 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.19

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 6 \frac{3^{2}}{2^{2}} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.20

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 6 \frac{9}{2^{2}} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.21

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 6 (\frac{9}{4}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.22

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.22.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 2 (3) \frac{9}{4} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.22.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 2 \cdot 3 \frac{9}{2 \cdot 2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.22.3

Cancela el factor común.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 2 \cdot 3 \frac{9}{2 \cdot 2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.22.4

Reescribe la expresión.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 3 (\frac{9}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.23

Combina $3$ y $\frac{9}{2}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3 \cdot 9}{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.24

Multiplica $3$ por $9$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27}{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.25

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.1.25.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27}{2} ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2}) + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.25.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27}{2} ({(- 1)}^{2} \frac{{(\sqrt{3} i)}^{2}}{2^{2}}) + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.25.3

Aplica la regla del producto a $\sqrt{3} i$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27}{2} ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2} i^{2}}{2^{2}}) + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.26

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27}{2} (1 \frac{{\sqrt{3}}^{2} i^{2}}{2^{2}}) + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.27

Multiplica $\frac{{\sqrt{3}}^{2} i^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2} i^{2}}{2^{2}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.28

Combinar.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2 \cdot 2^{2}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.29

Multiplica $2$ por $2^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.29.1

Multiplica $2$ por $2^{2}$ .

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Paso 6.1.29.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{1} \cdot 2^{2}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.29.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{1 + 2}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.29.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{3}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.30

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.30.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 6.1.30.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{2^{3}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.30.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{2^{3}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.30.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{3}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.30.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.30.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{3}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.30.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 \cdot 3^{1} i^{2}}{2^{3}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.30.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 \cdot 3 i^{2}}{2^{3}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.30.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 \cdot 3 \cdot - 1}{2^{3}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.30.3

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.30.3.1

Multiplica $27$ por $3$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{81 \cdot - 1}{2^{3}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.30.3.2

Multiplica $81$ por $- 1$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{2^{3}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.31

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.32

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.33

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.33.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 4 (\frac{- 3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.33.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 2 (2) \frac{- 3}{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.33.3

Cancela el factor común.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 2 \cdot 2 \frac{- 3}{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.33.4

Reescribe la expresión.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 2 \cdot - 3 {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.34

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.35

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.35.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.35.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 ({(- 1)}^{3} \frac{{(\sqrt{3} i)}^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.35.3

Aplica la regla del producto a $\sqrt{3} i$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{3} i^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.36

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{{\sqrt{3}}^{3} i^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.37

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.37.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{\sqrt{3^{3}} i^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.37.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{\sqrt{27} i^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.37.3

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.37.3.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{\sqrt{9 (3)} i^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.37.3.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.37.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{3 \sqrt{3} i^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.37.5

Factoriza $i^{2}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.37.6

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.37.7

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{3 \sqrt{3} \cdot - 1 i}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.37.8

Combina exponentes.

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Paso 6.1.37.8.1

Factoriza el negativo.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{- (3 \sqrt{3} i)}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.37.8.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{- 3 (\sqrt{3} i)}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{- 3 \sqrt{3} i}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.38

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{- 3 \sqrt{3} i}{8}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.39

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.39.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{- 3 \sqrt{3} i}{8}$ al numerador.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.39.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 2 (- 3) \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.39.3

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 2 \cdot - 3 \frac{3 \sqrt{3} i}{2 \cdot 4} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.39.4

Cancela el factor común.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 2 \cdot - 3 \frac{3 \sqrt{3} i}{2 \cdot 4} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.39.5

Reescribe la expresión.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 3 \frac{3 \sqrt{3} i}{4} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.40

Combina $- 3$ y $\frac{3 \sqrt{3} i}{4}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + \frac{- 3 (3 \sqrt{3} i)}{4} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.41

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + \frac{- 9 (\sqrt{3} i)}{4} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.42

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{(9) \sqrt{3} i}{4} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.43

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.43.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

Paso 6.1.43.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + {(- 1)}^{4} \frac{{(\sqrt{3} i)}^{4}}{2^{4}}$

Paso 6.1.43.3

Aplica la regla del producto a $\sqrt{3} i$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + {(- 1)}^{4} \frac{{\sqrt{3}}^{4} i^{4}}{2^{4}}$

Paso 6.1.44

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + 1 \frac{{\sqrt{3}}^{4} i^{4}}{2^{4}}$

Paso 6.1.45

Multiplica $\frac{{\sqrt{3}}^{4} i^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{4} i^{4}}{2^{4}}$

Paso 6.1.46

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.46.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.46.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i^{4}}{2^{4}}$

Paso 6.1.46.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i^{4}}{2^{4}}$

Paso 6.1.46.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3^{\frac{4}{2}} i^{4}}{2^{4}}$

Paso 6.1.46.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.46.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i^{4}}{2^{4}}$

Paso 6.1.46.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.46.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i^{4}}{2^{4}}$

Paso 6.1.46.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i^{4}}{2^{4}}$

Paso 6.1.46.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3^{\frac{2}{1}} i^{4}}{2^{4}}$

Paso 6.1.46.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3^{2} i^{4}}{2^{4}}$

Paso 6.1.46.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i^{4}}{2^{4}}$

Paso 6.1.46.3

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.46.3.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 {(i^{2})}^{2}}{2^{4}}$

Paso 6.1.46.3.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 {(- 1)}^{2}}{2^{4}}$

Paso 6.1.46.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 \cdot 1}{2^{4}}$

Paso 6.1.47

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 \cdot 1}{16}$

Paso 6.1.48

Multiplica $9$ por $1$ .

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9}{16}$

Paso 6.2

Simplifica los términos.

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Paso 6.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{81 + 9}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i - 9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8}$

Paso 6.2.2

Suma $81$ y $9$ .

$\frac{90}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i - 9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8}$

Paso 6.2.3

Resta $9 \sqrt{3} i$ de $27 \sqrt{3} i$ .

$\frac{90}{16} + \frac{18 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8}$

Paso 6.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común de $90$ y $16$ .

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Paso 6.3.1.1

Factoriza $2$ de $90$ .

$\frac{2 (45)}{16} + \frac{18 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8}$

Paso 6.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 8} + \frac{18 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8}$

Paso 6.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 8} + \frac{18 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8}$

Paso 6.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{45}{8} + \frac{18 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8}$

Paso 6.3.2

Cancela el factor común de $18$ y $4$ .

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $2$ de $18 \sqrt{3} i$ .

$\frac{45}{8} + \frac{2 (9 \sqrt{3} i)}{4} + \frac{- 81}{8}$

Paso 6.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{45}{8} + \frac{2 (9 \sqrt{3} i)}{2 (2)} + \frac{- 81}{8}$

Paso 6.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{45}{8} + \frac{2 (9 \sqrt{3} i)}{2 \cdot 2} + \frac{- 81}{8}$

Paso 6.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{45}{8} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2} + \frac{- 81}{8}$

Paso 6.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{45}{8} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2} - \frac{81}{8}$

Paso 6.4

Combina fracciones.

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Paso 6.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{45 - 81}{8} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2}$

Paso 6.4.2

Resta $81$ de $45$ .

$\frac{- 36}{8} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2}$

Paso 6.5

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.1

Cancela el factor común de $- 36$ y $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.1.1

Factoriza $4$ de $- 36$ .

$\frac{4 (- 9)}{8} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2}$

Paso 6.5.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.1.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot - 9}{4 \cdot 2} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2}$

Paso 6.5.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot - 9}{4 \cdot 2} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2}$

Paso 6.5.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 9}{2} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2}$

Paso 6.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9}{2} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2}$

Paso 7

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 8

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 9

Sustituye los valores reales de $a = - \frac{9}{2}$ y $b = \frac{9 \sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{9 \sqrt{3}}{2})}^{2} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

Paso 10

Obtén $| z |$ .

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Paso 10.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 10.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{(9 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

Paso 10.1.2

Aplica la regla del producto a $9 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{9^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

Paso 10.2

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{81 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

Paso 10.2.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 10.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{81 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

Paso 10.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{81 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

Paso 10.2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{81 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

Paso 10.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{\frac{81 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

Paso 10.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{\frac{81 \cdot 3}{2^{2}} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

Paso 10.2.2.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{\frac{81 \cdot 3}{2^{2}} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

Paso 10.3

Simplifica la expresión.

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Paso 10.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{81 \cdot 3}{4} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

Paso 10.3.2

Multiplica $81$ por $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{243}{4} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

Paso 10.4

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 10.4.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{9}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{243}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2}}$

Paso 10.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{9}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{243}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{2^{2}})}$

Paso 10.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{243}{4} + 1 (\frac{9^{2}}{2^{2}})}$

Paso 10.6

Multiplica $\frac{9^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{243}{4} + \frac{9^{2}}{2^{2}}}$

Paso 10.7

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{243}{4} + \frac{81}{2^{2}}}$

Paso 10.8

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{243}{4} + \frac{81}{4}}$

Paso 10.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$| z | = \sqrt{\frac{243 + 81}{4}}$

Paso 10.10

Suma $243$ y $81$ .

$| z | = \sqrt{\frac{324}{4}}$

Paso 10.11

Divide $324$ por $4$ .

$| z | = \sqrt{81}$

Paso 10.12

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$| z | = \sqrt{9^{2}}$

Paso 10.13

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 9$

Paso 11

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{\frac{9 \sqrt{3}}{2}}{- \frac{9}{2}})$

Paso 12

Como la tangente inversa de $\frac{\frac{9 \sqrt{3}}{2}}{- \frac{9}{2}}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Paso 13

Sustituye los valores de $θ = \frac{2 π}{3}$ y $| z | = 9$ .

$9 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$