Precálculo Ejemplos

$\cos (2 a) = \cos^{2} (a) - \sin^{2} (a)$

Paso 1

Comienza por el lado derecho.

$\cos^{2} (a) - \sin^{2} (a)$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (a)$ y $b = \sin (a)$ .

$(\cos (a) + \sin (a)) (\cos (a) - \sin (a))$

Paso 2.2

Expande $(\cos (a) + \sin (a)) (\cos (a) - \sin (a))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (a) (\cos (a) - \sin (a)) + \sin (a) (\cos (a) - \sin (a))$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (a) \cos (a) + \cos (a) (- \sin (a)) + \sin (a) (\cos (a) - \sin (a))$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (a) \cos (a) + \cos (a) (- \sin (a)) + \sin (a) \cos (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Paso 2.3

Combina los términos opuestos en $\cos (a) \cos (a) + \cos (a) (- \sin (a)) + \sin (a) \cos (a) + \sin (a) (- \sin (a))$ .

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Paso 2.3.1

Reordena los factores en los términos $\cos (a) (- \sin (a))$ y $\sin (a) \cos (a)$ .

$\cos (a) \cos (a) - \cos (a) \sin (a) + \cos (a) \sin (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Paso 2.3.2

Suma $- \cos (a) \sin (a)$ y $\cos (a) \sin (a)$ .

$\cos (a) \cos (a) + 0 + \sin (a) (- \sin (a))$

Paso 2.3.3

Suma $\cos (a) \cos (a)$ y $0$ .

$\cos (a) \cos (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Paso 2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1

Multiplica $\cos (a) \cos (a)$ .

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Paso 2.4.1.1

Eleva $\cos (a)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (a) \cos (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Paso 2.4.1.2

Eleva $\cos (a)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (a) \cos^{1} (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Paso 2.4.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (a)}^{1 + 1} + \sin (a) (- \sin (a))$

Paso 2.4.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Paso 2.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\cos^{2} (a) - \sin (a) \sin (a)$

Paso 2.4.3

Multiplica $- \sin (a) \sin (a)$ .

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Paso 2.4.3.1

Eleva $\sin (a)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (a) - (\sin^{1} (a) \sin (a))$

Paso 2.4.3.2

Eleva $\sin (a)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (a) - (\sin^{1} (a) \sin^{1} (a))$

Paso 2.4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos^{2} (a) - {\sin (a)}^{1 + 1}$

Paso 2.4.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (a) - \sin^{2} (a)$

Paso 2.5

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$\cos (2 a)$

Paso 3

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\cos (2 a) = \cos^{2} (a) - \sin^{2} (a)$ es una identidad