Precálculo Ejemplos

$\cos (45 °)$

Paso 1

El valor exacto de $\cos (45 °)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 3

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 4

Sustituye los valores reales de $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 5

Obtén $| z |$ .

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Paso 5.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 5.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 5.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 5.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Paso 5.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 5.2.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

Paso 5.2.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

Paso 5.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{4}}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 (1)}{4}}$

Paso 5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{2}}$

Paso 5.5

Suma $0$ y $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 5.6

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 5.7

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 5.8

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 5.9

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.9.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 5.9.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 5.9.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 5.9.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 5.9.5

Suma $1$ y $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 5.9.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.9.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.9.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.9.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.9.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.9.6.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.9.6.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5.9.6.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 6

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Paso 7

Como la tangente inversa de $\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ produce un ángulo en el primer cuadrante, el valor del ángulo es $0$ .

$θ = 0$

Paso 8

Sustituye los valores de $θ = 0$ y $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (0) + i \sin (0))}$