Precálculo Ejemplos

${(3 (\cos (27 °) + i \sin (27 °)))}^{5}$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Evalúa $\cos (27 °)$ .

${(3 (0.89100652 + i \sin (27 °)))}^{5}$

Paso 1.1.2

Evalúa $\sin (27 °)$ .

${(3 (0.89100652 + i \cdot 0.45399049))}^{5}$

Paso 1.1.3

Mueve $0.45399049$ a la izquierda de $i$ .

${(3 (0.89100652 + 0.45399049 i))}^{5}$

Paso 1.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(3 \cdot 0.89100652 + 3 (0.45399049 i))}^{5}$

Paso 1.2.2

Multiplica.

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $3$ por $0.89100652$ .

${(2.67301957 + 3 (0.45399049 i))}^{5}$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $0.45399049$ por $3$ .

${(2.67301957 + 1.36197149 i)}^{5}$

Paso 2

Usa el teorema del binomio.

${2.67301957}^{5} + 5 \cdot {2.67301957}^{4} (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Eleva $2.67301957$ a la potencia de $5$ .

$136.46167381 + 5 \cdot {2.67301957}^{4} (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.2

Eleva $2.67301957$ a la potencia de $4$ .

$136.46167381 + 5 \cdot 51.05150564 (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.3

Multiplica $5$ por $51.05150564$ .

$136.46167381 + 255.25752824 (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.4

Multiplica $1.36197149$ por $255.25752824$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.5

Eleva $2.67301957$ a la potencia de $3$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 10 \cdot 19.09881475 {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.6

Multiplica $10$ por $19.09881475$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.7

Aplica la regla del producto a $1.36197149 i$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 ({1.36197149}^{2} i^{2}) + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.8

Eleva $1.36197149$ a la potencia de $2$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 (1.85496636 i^{2}) + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.9

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 (1.85496636 \cdot - 1) + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.10

Multiplica $190.98814753 (1.85496636 \cdot - 1)$ .

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Paso 3.1.10.1

Multiplica $1.85496636$ por $- 1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 \cdot - 1.85496636 + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.10.2

Multiplica $190.98814753$ por $- 1.85496636$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.11

Eleva $2.67301957$ a la potencia de $2$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 10 \cdot 7.14503363 {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.12

Multiplica $10$ por $7.14503363$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.13

Aplica la regla del producto a $1.36197149 i$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 ({1.36197149}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.14

Eleva $1.36197149$ a la potencia de $3$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 i^{3}) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.15

Factoriza $i^{2}$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.16

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.17

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 (- i)) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.18

Multiplica $- 1$ por $2.52641132$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (- 2.52641132 i) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.19

Multiplica $- 2.52641132$ por $71.45033635$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.20

Multiplica $5$ por $2.67301957$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.21

Aplica la regla del producto a $1.36197149 i$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 ({1.36197149}^{4} i^{4}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.22

Eleva $1.36197149$ a la potencia de $4$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 i^{4}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.23

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 3.1.23.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 {(i^{2})}^{2}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.23.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 {(- 1)}^{2}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.23.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 \cdot 1) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.24

Multiplica $13.36509786 (3.44090021 \cdot 1)$ .

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Paso 3.1.24.1

Multiplica $3.44090021$ por $1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 \cdot 3.44090021 + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.24.2

Multiplica $13.36509786$ por $3.44090021$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + {(1.36197149 i)}^{5}$

Paso 3.1.25

Aplica la regla del producto a $1.36197149 i$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + {1.36197149}^{5} i^{5}$

Paso 3.1.26

Eleva $1.36197149$ a la potencia de $5$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 i^{5}$

Paso 3.1.27

Factoriza $i^{4}$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 (i^{4} i)$

Paso 3.1.28

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 3.1.28.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 ({(i^{2})}^{2} i)$

Paso 3.1.28.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 ({(- 1)}^{2} i)$

Paso 3.1.28.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 (1 i)$

Paso 3.1.29

Multiplica $i$ por $1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 i$

Paso 3.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.2.1

Resta $354.27658973$ de $136.46167381$ .

$- 217.81491592 + 347.65347843 i - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 i$

Paso 3.2.2

Suma $- 217.81491592$ y $45.98796809$ .

$- 171.82694782 + 347.65347843 i - 180.51293863 i + 4.68640802 i$

Paso 3.2.3

Resta $180.51293863 i$ de $347.65347843 i$ .

$- 171.82694782 + 167.1405398 i + 4.68640802 i$

Paso 3.2.4

Suma $167.1405398 i$ y $4.68640802 i$ .

$- 171.82694782 + 171.82694782 i$

Paso 4

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 5

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 6

Sustituye los valores reales de $a = - 171.82694782$ y $b = 171.82694782$ .

$| z | = \sqrt{{171.82694782}^{2} + {(- 171.82694782)}^{2}}$

Paso 7

Obtén $| z |$ .

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Paso 7.1

Eleva $171.82694782$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{29524.4\overline{9} + {(- 171.82694782)}^{2}}$

Paso 7.2

Eleva $- 171.82694782$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{29524.4\overline{9} + 29524.4\overline{9}}$

Paso 7.3

Suma $29524.4\overline{9}$ y $29524.4\overline{9}$ .

$| z | = \sqrt{59048.\overline{9}}$

Paso 8

Evalúa la raíz.

$| z | = 242.\overline{9}$

Paso 9

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{171.82694782}{- 171.82694782})$

Paso 10

La inversa de la tangente de $\frac{171.82694782}{- 171.82694782}$ es $- 0.78539816$ .

$θ = - 0.78539816$

Paso 11

Sustituye los valores de $θ = - 0.78539816$ y $| z | = 242.\overline{9}$ .

$242.\overline{9} (\cos (- 0.78539816) + i \sin (- 0.78539816))$