Precálculo Ejemplos

$\sqrt{2} - \sqrt{2} i$

Paso 1

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 2

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a = \sqrt{2}$ y $b = - 1 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1 \sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 4

Obtén $| z |$ .

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Paso 4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.1

Reescribe $- 1 \sqrt{2}$ como $- \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 4.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 4.1.4

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 4.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 4.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{2 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 4.2.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{2 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 4.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{2 + 2}$

Paso 4.3.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{2 + 2}$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Suma $2$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Paso 4.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Paso 4.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 2$

Paso 5

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- 1 \sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 6

Como la tangente inversa de $\frac{- 1 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ produce un ángulo en el cuarto cuadrante, el valor del ángulo es $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Paso 7

Sustituye los valores de $θ = - \frac{π}{4}$ y $| z | = 2$ .

$2 (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$