Precálculo Ejemplos

$\sqrt[3]{- 2 i}$

Paso 1

Reescribe $- 2 i$ como ${({(- 1)}^{3})}^{3} \cdot (2 i)$ .

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Paso 1.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\sqrt[3]{- 1 (2) i}$

Paso 1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 2 i}$

Paso 1.3

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \cdot 2 i}$

Paso 1.4

Agrega paréntesis.

$\sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \cdot (2 i)}$

Paso 2

Retira los términos de abajo del radical.

${(- 1)}^{3} \sqrt[3]{2 i}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 \sqrt[3]{2 i}$

Paso 3.2

Reescribe $- 1 \sqrt[3]{2 i}$ como $- \sqrt[3]{2 i}$ .

$- \sqrt[3]{2 i}$

Paso 4

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 5

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 6

Sustituye los valores reales de $a = 0$ y $b = - 1$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

Paso 7

Obtén $| z |$ .

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Paso 7.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Paso 7.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$| z | = 1$

Paso 8

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- 1}{0})$

Paso 9

Como el argumento es indefinido y $b$ es negativa, el ángulo del punto en el plano complejo es $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Paso 10

Sustituye los valores de $θ = \frac{3 π}{2}$ y $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$