Precálculo Ejemplos

${(3 c i s \frac{π}{6})}^{3}$

Paso 1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1

Factoriza $3$ de $3 c i s$ .

${(3 (c i s) \frac{π}{6})}^{3}$

Paso 1.2

Factoriza $3$ de $6$ .

${(3 (c i s) \frac{π}{3 (2)})}^{3}$

Paso 1.3

Cancela el factor común.

${(3 (c i s) \frac{π}{3 \cdot 2})}^{3}$

Paso 1.4

Reescribe la expresión.

${(c i s \frac{π}{2})}^{3}$

Paso 2

Combina $c$ y $\frac{π}{2}$ .

${(i s \frac{c π}{2})}^{3}$

Paso 3

Combina $i$ y $\frac{c π}{2}$ .

${(s \frac{i (c π)}{2})}^{3}$

Paso 4

Combina $s$ y $\frac{i (c π)}{2}$ .

${(\frac{s (i (c π))}{2})}^{3}$

Paso 5

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{s i c π}{2}$ .

$\frac{{(s i c π)}^{3}}{2^{3}}$

Paso 5.2

Aplica la regla del producto a $s i c π$ .

$\frac{{(s i c)}^{3} π^{3}}{2^{3}}$

Paso 5.3

Aplica la regla del producto a $s i c$ .

$\frac{{(s i)}^{3} c^{3} π^{3}}{2^{3}}$

Paso 5.4

Aplica la regla del producto a $s i$ .

$\frac{s^{3} i^{3} c^{3} π^{3}}{2^{3}}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Factoriza $i^{2}$ .

$\frac{s^{3} (i^{2} \cdot i) c^{3} π^{3}}{2^{3}}$

Paso 6.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{s^{3} (- 1 \cdot i) c^{3} π^{3}}{2^{3}}$

Paso 6.3

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$\frac{s^{3} \cdot - 1 i c^{3} π^{3}}{2^{3}}$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{s^{3} \cdot - 1 i c^{3} π^{3}}{8}$

Paso 7.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $s^{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot s^{3} i c^{3} π^{3}}{8}$

Paso 7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{s^{3} i c^{3} π^{3}}{8}$

Paso 8

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 9

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 10

Sustituye los valores reales de $a = 0$ y $b = - \frac{1 s^{3} c^{3} π^{3}}{8}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1 s^{3} c^{3} π^{3}}{8})}^{2}}$

Paso 11

Obtén $| z |$ .

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Paso 11.1

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = \frac{1 s^{3} c^{3} π^{3}}{8}$

Paso 11.2

Multiplica $s^{3}$ por $1$ .

$| z | = \frac{s^{3} c^{3} π^{3}}{8}$

Paso 12

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1 s^{3} c^{3} π^{3}}{8}}{0})$

Paso 13

Como el argumento es indefinido y $b$ es negativa, el ángulo del punto en el plano complejo es $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Paso 14

Sustituye los valores de $θ = \frac{3 π}{2}$ y $| z | = \frac{s^{3} c^{3} π^{3}}{8}$ .

$\frac{s^{3} c^{3} π^{3}}{8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))}$