Precálculo Ejemplos

${(- 2 - 2 i)}^{4}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

${(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3} (- 2 i) + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$16 + 4 {(- 2)}^{3} (- 2 i) + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.2

Multiplica ${(- 2)}^{3}$ por $- 2$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Mueve $- 2$ .

$16 + 4 (- 2 {(- 2)}^{3}) i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.2.2

Multiplica $- 2$ por ${(- 2)}^{3}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $1$ .

$16 + 4 ({(- 2)}^{1} {(- 2)}^{3}) i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$16 + 4 {(- 2)}^{1 + 3} i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.2.3

Suma $1$ y $3$ .

$16 + 4 {(- 2)}^{4} i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$16 + 4 \cdot 16 i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.4

Multiplica $4$ por $16$ .

$16 + 64 i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.5

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$16 + 64 i + 6 \cdot 4 {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.6

Multiplica $6$ por $4$ .

$16 + 64 i + 24 {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.7

Aplica la regla del producto a $- 2 i$ .

$16 + 64 i + 24 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.8

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$16 + 64 i + 24 (4 i^{2}) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.9

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$16 + 64 i + 24 (4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.10

Multiplica $24 (4 \cdot - 1)$ .

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Paso 2.1.10.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$16 + 64 i + 24 \cdot - 4 + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.10.2

Multiplica $24$ por $- 4$ .

$16 + 64 i - 96 + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.11

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.12

Aplica la regla del producto a $- 2 i$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.13

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 i^{3}) + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.14

Factoriza $i^{2}$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.15

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (- 1 \cdot i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.16

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (- i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.17

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (8 i) + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.18

Multiplica $8$ por $- 8$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + {(- 2 i)}^{4}$

Paso 2.1.19

Aplica la regla del producto a $- 2 i$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + {(- 2)}^{4} i^{4}$

Paso 2.1.20

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 i^{4}$

Paso 2.1.21

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.21.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 {(i^{2})}^{2}$

Paso 2.1.21.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 {(- 1)}^{2}$

Paso 2.1.21.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 \cdot 1$

Paso 2.1.22

Multiplica $16$ por $1$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Resta $96$ de $16$ .

$- 80 + 64 i - 64 i + 16$

Paso 2.2.2

Suma $- 80$ y $16$ .

$- 64 + 64 i - 64 i$

Paso 2.2.3

Resta $64 i$ de $64 i$ .

$- 64 + 0$

Paso 2.2.4

Suma $- 64$ y $0$ .

$- 64$

Paso 3

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 4

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 5

Sustituye los valores reales de $a = - 64$ y $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 64)}^{2}}$

Paso 6

Obtén $| z |$ .

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Paso 6.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 64)}^{2}}$

Paso 6.2

Eleva $- 64$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4096}$

Paso 6.3

Suma $0$ y $4096$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Paso 6.4

Reescribe $4096$ como $64^{2}$ .

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Paso 6.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 64$

Paso 7

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 64})$

Paso 8

Como la tangente inversa de $\frac{0}{- 64}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es $π$ .

$θ = π$

Paso 9

Sustituye los valores de $θ = π$ y $| z | = 64$ .

$64 (\cos (π) + i \sin (π))$