Precálculo Ejemplos

$\frac{2 π}{3}$

Paso 1

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 2

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a = \frac{2 π}{3}$ y $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

Paso 4

Obtén $| z |$ .

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Paso 4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 π}{3}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(2 π)}^{2}}{3^{2}}}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla del producto a $2 π$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

Paso 4.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{4 π^{2}}{3^{2}}}$

Paso 4.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{4 π^{2}}{9}}$

Paso 4.5

Suma $0$ y $\frac{4 π^{2}}{9}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4 π^{2}}{9}}$

Paso 4.6

Reescribe $\sqrt{\frac{4 π^{2}}{9}}$ como $\frac{\sqrt{4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$

Paso 4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1

Reescribe $4 π^{2}$ como ${(2 π)}^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{{(2 π)}^{2}}}{\sqrt{9}}$

Paso 4.7.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = \frac{2 π}{\sqrt{9}}$

Paso 4.8

Simplifica el denominador.

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Paso 4.8.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$| z | = \frac{2 π}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 4.8.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = \frac{2 π}{3}$

Paso 5

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})$

Paso 6

Sustituye los valores de $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})$ y $| z | = \frac{2 π}{3}$ .

$\frac{2 π}{3 (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})))}$