Precálculo Ejemplos

$\frac{6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Paso 1

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 1.1

Factoriza $3$ de $6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))$ .

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Paso 1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{\cos (2 π) + i \sin (2 π)}$

Paso 2

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i}$ por el conjugado de $10 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i} \cdot \frac{1 + 0 i}{1 + 0 i}$

Paso 3

Multiplica.

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Paso 3.1

Combinar.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{2 (\cos (π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Paso 3.2.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{2 (- \cos (0) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Paso 3.2.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (- 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Paso 3.2.1.5

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{2 (- 1 + i \sin (π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Paso 3.2.1.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{2 (- 1 + i \sin (0)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Paso 3.2.1.7

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{2 (- 1 + i \cdot 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Paso 3.2.1.8

Multiplica $i$ por $0$ .

$\frac{2 (- 1 + 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Paso 3.2.2

Suma $- 1$ y $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Paso 3.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 \cdot 1 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Paso 3.2.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{- 2 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Paso 3.2.6

Multiplica $0$ por $- 2$ .

$\frac{- 20 i}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Paso 3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1

Expande $(10 i) (1 + 0 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 20 i}{1 (1 + 0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

Paso 3.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Paso 3.3.2

Simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i 0 i (0 i)}$

Paso 3.3.2.4

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i i}$

Paso 3.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i)}$

Paso 3.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i^{1})}$

Paso 3.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{1 + 1}}$

Paso 3.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{2}}$

Paso 3.3.2.9

Multiplica $0$ por $i^{2}$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0}$

Paso 3.3.2.10

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i}$

Paso 3.3.2.11

Resta $0 i$ de $0 i$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i}$

Paso 3.3.3

Multiplica $0$ por $i$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0}$

Paso 3.3.4

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- 20 i}{1}$

Paso 4

Divide $- 20 i$ por $1$ .

$- 20 i$

Paso 5

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 6

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 7

Sustituye los valores reales de $a = - 2$ y $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{{(0)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Paso 8

Obtén $| z |$ .

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Paso 8.1

Eleva $0$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 2)}^{2}}$

Paso 8.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4}$

Paso 8.3

Suma $0$ y $4$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Paso 8.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Paso 8.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 2$

Paso 9

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 2})$

Paso 10

Como la tangente inversa de $\frac{0}{- 2}$ produce un ángulo en el tercer cuadrante, el valor del ángulo es $3.14159265$ .

$θ = 3.14159265$

Paso 11

Sustituye los valores de $θ = 3.14159265$ y $| z | = 2$ .

$2 (\cos (3.14159265) + i \sin (3.14159265))$