Precálculo Ejemplos

$(5 + 5 i) (8 (\cos (\frac{3 π}{7}) + i \sin (\frac{3 π}{7})))$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Evalúa $\cos (\frac{3 π}{7})$ .

$(5 + 5 i) (8 (0.22252093 + i \sin (\frac{3 π}{7})))$

Paso 1.1.2

Evalúa $\sin (\frac{3 π}{7})$ .

$(5 + 5 i) (8 (0.22252093 + i \cdot 0.97492791))$

Paso 1.1.3

Mueve $0.97492791$ a la izquierda de $i$ .

$(5 + 5 i) (8 (0.22252093 + 0.97492791 i))$

Paso 1.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(5 + 5 i) (8 \cdot 0.22252093 + 8 (0.97492791 i))$

Paso 1.2.2

Multiplica.

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $8$ por $0.22252093$ .

$(5 + 5 i) (1.78016747 + 8 (0.97492791 i))$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $0.97492791$ por $8$ .

$(5 + 5 i) (1.78016747 + 7.79942329 i)$

Paso 2

Expande $(5 + 5 i) (1.78016747 + 7.79942329 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (1.78016747 + 7.79942329 i) + 5 i (1.78016747 + 7.79942329 i)$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cdot 1.78016747 + 5 (7.79942329 i) + 5 i (1.78016747 + 7.79942329 i)$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cdot 1.78016747 + 5 (7.79942329 i) + 5 i \cdot 1.78016747 + 5 i (7.79942329 i)$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $5$ por $1.78016747$ .

$8.90083735 + 5 (7.79942329 i) + 5 i \cdot 1.78016747 + 5 i (7.79942329 i)$

Paso 3.1.2

Multiplica $7.79942329$ por $5$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 5 i \cdot 1.78016747 + 5 i (7.79942329 i)$

Paso 3.1.3

Multiplica $1.78016747$ por $5$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 5 i (7.79942329 i)$

Paso 3.1.4

Multiplica $5 i (7.79942329 i)$ .

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $7.79942329$ por $5$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 i i$

Paso 3.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 (i^{1} i)$

Paso 3.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 (i^{1} i^{1})$

Paso 3.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 i^{1 + 1}$

Paso 3.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 i^{2}$

Paso 3.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 \cdot - 1$

Paso 3.1.6

Multiplica $38.99711648$ por $- 1$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i - 38.99711648$

Paso 3.2

Resta $38.99711648$ de $8.90083735$ .

$- 30.09627912 + 38.99711648 i + 8.90083735 i$

Paso 3.3

Suma $38.99711648 i$ y $8.90083735 i$ .

$- 30.09627912 + 47.89795384 i$

Paso 4

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 5

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 6

Sustituye los valores reales de $a = - 30.09627912$ y $b = 47.89795384$ .

$| z | = \sqrt{{47.89795384}^{2} + {(- 30.09627912)}^{2}}$

Paso 7

Obtén $| z |$ .

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Paso 7.1

Eleva $47.89795384$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{2294.21398258 + {(- 30.09627912)}^{2}}$

Paso 7.2

Eleva $- 30.09627912$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{2294.21398258 + 905.78601741}$

Paso 7.3

Suma $2294.21398258$ y $905.78601741$ .

$| z | = \sqrt{3199.\overline{9}}$

Paso 8

Evalúa la raíz.

$| z | = 56.56854249$

Paso 9

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{47.89795384}{- 30.09627912})$

Paso 10

Como la tangente inversa de $\frac{47.89795384}{- 30.09627912}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es $2.13179501$ .

$θ = 2.13179501$

Paso 11

Sustituye los valores de $θ = 2.13179501$ y $| z | = 56.56854249$ .

$56.56854249 (\cos (2.13179501) + i \sin (2.13179501))$