Precálculo Ejemplos

$3 - \sqrt{3} i$

Paso 1

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 2

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a = 3$ y $b = - 1 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1 \sqrt{3})}^{2} + 3^{2}}$

Paso 4

Obtén $| z |$ .

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Paso 4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.1

Reescribe $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + 3^{2}}$

Paso 4.1.2

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 3^{2}}$

Paso 4.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{1 {\sqrt{3}}^{2} + 3^{2}}$

Paso 4.1.4

Multiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + 3^{2}}$

Paso 4.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3^{2}}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3^{2}}$

Paso 4.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + 3^{2}}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + 3^{2}}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{3 + 3^{2}}$

Paso 4.2.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{3 + 3^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{3 + 9}$

Paso 4.3.2

Suma $3$ y $9$ .

$| z | = \sqrt{12}$

Paso 4.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$| z | = \sqrt{4 (3)}$

Paso 4.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Paso 4.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| z | = 2 \sqrt{3}$

Paso 5

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- 1 \sqrt{3}}{3})$

Paso 6

Como la tangente inversa de $\frac{- 1 \sqrt{3}}{3}$ produce un ángulo en el cuarto cuadrante, el valor del ángulo es $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Paso 7

Sustituye los valores de $θ = - \frac{π}{6}$ y $| z | = 2 \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} (\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6}))$