Precálculo Ejemplos

$- 4 \sqrt{2} (1 - i)$

Paso 1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 \sqrt{2} \cdot 1 - 4 \sqrt{2} (- i)$

Paso 2

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} (- i)$

Paso 2.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$- 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} i$

Paso 3

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 4

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 5

Sustituye los valores reales de $a = - 4 \sqrt{2}$ y $b = 4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 6

Obtén $| z |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Aplica la regla del producto a $4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 6.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 6.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 6.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 6.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 6.2.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 6.2.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 6.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Multiplica $16$ por $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 6.3.2

Aplica la regla del producto a $- 4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 6.3.3

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 6.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.4.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

Paso 6.4.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

Paso 6.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.1

Multiplica $16$ por $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 32}$

Paso 6.5.2

Suma $32$ y $32$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Paso 6.5.3

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Paso 6.5.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 8$

Paso 7

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}})$

Paso 8

Como la tangente inversa de $\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Paso 9

Sustituye los valores de $θ = \frac{3 π}{4}$ y $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$