Precálculo Ejemplos

$5 (\cos (25 °) + i \sin (25 °)) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Evalúa $\cos (25 °)$ .

$5 (0.90630778 + i \sin (25 °)) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Paso 1.1.2

Evalúa $\sin (25 °)$ .

$5 (0.90630778 + i \cdot 0.42261826) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Paso 1.1.3

Mueve $0.42261826$ a la izquierda de $i$ .

$5 (0.90630778 + 0.42261826 i) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Paso 1.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(5 \cdot 0.90630778 + 5 (0.42261826 i)) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Paso 1.2.2

Multiplica.

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $5$ por $0.90630778$ .

$(4.53153893 + 5 (0.42261826 i)) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $0.42261826$ por $5$ .

$(4.53153893 + 2.1130913 i) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(4.53153893 \cdot 2 + 2.1130913 i \cdot 2) (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Paso 1.2.4

Multiplica.

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Paso 1.2.4.1

Multiplica $4.53153893$ por $2$ .

$(9.06307787 + 2.1130913 i \cdot 2) (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $2$ por $2.1130913$ .

$(9.06307787 + 4.22618261 i) (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Paso 1.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1

Evalúa $\cos (80 °)$ .

$(9.06307787 + 4.22618261 i) (0.17364817 + i \sin (80 °))$

Paso 1.3.2

Evalúa $\sin (80 °)$ .

$(9.06307787 + 4.22618261 i) (0.17364817 + i \cdot 0.98480775)$

Paso 1.3.3

Mueve $0.98480775$ a la izquierda de $i$ .

$(9.06307787 + 4.22618261 i) (0.17364817 + 0.98480775 i)$

Paso 2

Expande $(9.06307787 + 4.22618261 i) (0.17364817 + 0.98480775 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9.06307787 (0.17364817 + 0.98480775 i) + 4.22618261 i (0.17364817 + 0.98480775 i)$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9.06307787 \cdot 0.17364817 + 9.06307787 (0.98480775 i) + 4.22618261 i (0.17364817 + 0.98480775 i)$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9.06307787 \cdot 0.17364817 + 9.06307787 (0.98480775 i) + 4.22618261 i \cdot 0.17364817 + 4.22618261 i (0.98480775 i)$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $9.06307787$ por $0.17364817$ .

$1.57378695 + 9.06307787 (0.98480775 i) + 4.22618261 i \cdot 0.17364817 + 4.22618261 i (0.98480775 i)$

Paso 3.1.2

Multiplica $0.98480775$ por $9.06307787$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 4.22618261 i \cdot 0.17364817 + 4.22618261 i (0.98480775 i)$

Paso 3.1.3

Multiplica $0.17364817$ por $4.22618261$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.22618261 i (0.98480775 i)$

Paso 3.1.4

Multiplica $4.22618261 i (0.98480775 i)$ .

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $0.98480775$ por $4.22618261$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 i i$

Paso 3.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 (i^{1} i)$

Paso 3.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 (i^{1} i^{1})$

Paso 3.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 i^{1 + 1}$

Paso 3.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 i^{2}$

Paso 3.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 \cdot - 1$

Paso 3.1.6

Multiplica $4.1619774$ por $- 1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i - 4.1619774$

Paso 3.2

Resta $4.1619774$ de $1.57378695$ .

$- 2.58819045 + 8.92538935 i + 0.73386891 i$

Paso 3.3

Suma $8.92538935 i$ y $0.73386891 i$ .

$- 2.58819045 + 9.65925826 i$

Paso 4

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 5

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 6

Sustituye los valores reales de $a = - 2.58819045$ y $b = 9.65925826$ .

$| z | = \sqrt{{9.65925826}^{2} + {(- 2.58819045)}^{2}}$

Paso 7

Obtén $| z |$ .

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Paso 7.1

Eleva $9.65925826$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{93.30127018 + {(- 2.58819045)}^{2}}$

Paso 7.2

Eleva $- 2.58819045$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{93.30127018 + 6.69872981}$

Paso 7.3

Suma $93.30127018$ y $6.69872981$ .

$| z | = \sqrt{100}$

Paso 7.4

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$| z | = \sqrt{10^{2}}$

Paso 7.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 10$

Paso 8

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{9.65925826}{- 2.58819045})$

Paso 9

La inversa de la tangente de $\frac{9.65925826}{- 2.58819045}$ es $- 1.30899693$ .

$θ = - 1.30899693$

Paso 10

Sustituye los valores de $θ = - 1.30899693$ y $| z | = 10$ .

$10 (\cos (- 1.30899693) + i \sin (- 1.30899693))$