Precálculo Ejemplos

$\frac{x + 4}{2 x - 1} > 3$

Paso 1

Resta $3$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} - 3 > 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x + 4}{2 x - 1} - 3$ .

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Paso 2.1

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} - 3 \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} > 0$

Paso 2.2

Combina $- 3$ y $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} + \frac{- 3 (2 x - 1)}{2 x - 1} > 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + 4 - 3 (2 x - 1)}{2 x - 1} > 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1}{2 x - 1} > 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{x + 4 - 6 x - 3 \cdot - 1}{2 x - 1} > 0$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{x + 4 - 6 x + 3}{2 x - 1} > 0$

Paso 2.4.4

Resta $6 x$ de $x$ .

$\frac{- 5 x + 4 + 3}{2 x - 1} > 0$

Paso 2.4.5

Suma $4$ y $3$ .

$\frac{- 5 x + 7}{2 x - 1} > 0$

Paso 2.5

Factoriza $- 1$ de $- 5 x$ .

$\frac{- (5 x) + 7}{2 x - 1} > 0$

Paso 2.6

Reescribe $7$ como $- 1 (- 7)$ .

$\frac{- (5 x) - 1 (- 7)}{2 x - 1} > 0$

Paso 2.7

Factoriza $- 1$ de $- (5 x) - 1 (- 7)$ .

$\frac{- (5 x - 7)}{2 x - 1} > 0$

Paso 2.8

Reescribe $- (5 x - 7)$ como $- 1 (5 x - 7)$ .

$\frac{- 1 (5 x - 7)}{2 x - 1} > 0$

Paso 2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 x - 7}{2 x - 1} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$5 x - 7 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Paso 4

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 7$

Paso 5

Divide cada término en $5 x = 7$ por $5$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $5 x = 7$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Paso 5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{5}$

Paso 6

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 7

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = \frac{7}{5}$

$x = \frac{1}{2}$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = \frac{7}{5}, \frac{1}{2}$

Paso 10

Obtén el dominio de $- \frac{5 x - 7}{2 x - 1}$ .

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Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{5 x - 7}{2 x - 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 x - 1 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x$

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Paso 10.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 10.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 10.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 10.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$

$x > \frac{7}{5}$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) + 4}{2 (0) - 1} > 3$

Paso 12.1.3

$- 4$ del lado izquierdo no es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\frac{(1) + 4}{2 (1) - 1} > 3$

Paso 12.2.3

$5$ del lado izquierdo es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{7}{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{7}{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{(4) + 4}{2 (4) - 1} > 3$

Paso 12.3.3

$1.\overline{142857}$ del lado izquierdo no es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ Verdadero

$x > \frac{7}{5}$ Falso

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ Verdadero

$x > \frac{7}{5}$ Falso

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$

Paso 14

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(\frac{1}{2}, \frac{7}{5})$

Paso 15