Precálculo Ejemplos

$\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6} \leq 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x = 0$

$x^{2} + 2 x - 6 = 0$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = - 6$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3

Suma $4$ y $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4

Reescribe $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Suma $4$ y $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4

Reescribe $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

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Paso 5.1.4.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Paso 5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{7}$

Paso 6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.3

Suma $4$ y $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4

Reescribe $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

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Paso 6.1.4.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Paso 6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{7}$

Paso 7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = 0, - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Paso 10

Obtén el dominio de $\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6}$ .

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Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} + 2 x - 6 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x$

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Paso 10.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 10.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = - 6$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.3

Simplifica.

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Paso 10.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Paso 10.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.3.1.3

Suma $4$ y $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.3.1.4

Reescribe $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

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Paso 10.2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Paso 10.2.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Paso 10.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 10.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Paso 10.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.4.1.3

Suma $4$ y $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.4.1.4

Reescribe $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

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Paso 10.2.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Paso 10.2.4.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Paso 10.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{7}$

Paso 10.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 10.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Paso 10.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.5.1.3

Suma $4$ y $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.5.1.4

Reescribe $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

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Paso 10.2.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Paso 10.2.5.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Paso 10.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{7}$

Paso 10.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 1 - \sqrt{7}) \cup (- 1 - \sqrt{7}, - 1 + \sqrt{7}) \cup (- 1 + \sqrt{7}, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1 - \sqrt{7}$

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$

$x > - 1 + \sqrt{7}$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1 - \sqrt{7}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1 - \sqrt{7}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{- 6}{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 6} \leq 0$

Paso 12.1.3

$- 0.\overline{3}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} + 2 (- 2) - 6} \leq 0$

Paso 12.2.3

$0.\overline{3}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{{(1)}^{2} + 2 (1) - 6} \leq 0$

Paso 12.3.3

$- 0.\overline{3}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.4

Prueba un valor en el intervalo $x > - 1 + \sqrt{7}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > - 1 + \sqrt{7}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 12.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{4}{{(4)}^{2} + 2 (4) - 6} \leq 0$

Paso 12.4.3

$0.\overline{2}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1 - \sqrt{7}$ Verdadero

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ Falso

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ Verdadero

$x > - 1 + \sqrt{7}$ Falso

$x < - 1 - \sqrt{7}$ Verdadero

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ Falso

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ Verdadero

$x > - 1 + \sqrt{7}$ Falso

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 1 - \sqrt{7}$ o $0 \leq x < - 1 + \sqrt{7}$

Paso 14

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 1 - \sqrt{7}) \cup [0, - 1 + \sqrt{7})$

Paso 15