Precálculo Ejemplos

$\frac{x + 6}{x^{2} - 6 x + 8} > \frac{2}{x - 4}$

Paso 1

Resta $\frac{2}{x - 4}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x + 6}{x^{2} - 6 x + 8} - \frac{2}{x - 4} > 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x + 6}{x^{2} - 6 x + 8} - \frac{2}{x - 4}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2} - 6 x + 8$ con el método AC.

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Paso 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 4, - 2$

Paso 2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x + 6}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2}{x - 4} > 0$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{2}{x - 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 6}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2}{x - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} > 0$

Paso 2.3

Multiplica $\frac{2}{x - 4}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 6}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2 (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + 6 - 2 (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + 6 - 2 x - 2 \cdot - 2}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Paso 2.5.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{x + 6 - 2 x + 4}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Paso 2.5.3

Resta $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x + 6 + 4}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Paso 2.5.4

Suma $6$ y $4$ .

$\frac{- x + 10}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Paso 2.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) + 10}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Paso 2.7

Reescribe $10$ como $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 10)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Paso 2.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (x - 10)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Paso 2.9

Reescribe $- (x - 10)$ como $- 1 (x - 10)$ .

$\frac{- 1 (x - 10)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x - 10}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 10 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 4

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 10$

Paso 5

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 6

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 10$

$x = 4$

$x = 2$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = 10, 4, 2$

Paso 9

Obtén el dominio de $- \frac{x - 10}{(x - 4) (x - 2)}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{x - 10}{(x - 4) (x - 2)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Paso 9.2

Resuelve $x$

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Paso 9.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 9.2.2

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.2.2.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 9.2.2.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 9.2.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.2.3.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 9.2.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 9.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 4) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 4, 2$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$4 < x < 10$

$x > 10$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) + 6}{{(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 8} > \frac{2}{(0) - 4}$

Paso 11.1.3

$0.75$ del lado izquierdo es mayor que $- 0.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\frac{(3) + 6}{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 8} > \frac{2}{(3) - 4}$

Paso 11.2.3

$- 9$ del lado izquierdo no es mayor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $4 < x < 10$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $4 < x < 10$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 7$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $7$ en la desigualdad original.

$\frac{(7) + 6}{{(7)}^{2} - 6 \cdot 7 + 8} > \frac{2}{(7) - 4}$

Paso 11.3.3

$0.8\overline{6}$ del lado izquierdo es mayor que $0.\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 10$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 10$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 12$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $12$ en la desigualdad original.

$\frac{(12) + 6}{{(12)}^{2} - 6 \cdot 12 + 8} > \frac{2}{(12) - 4}$

Paso 11.4.3

$0.225$ del lado izquierdo no es mayor que $0.25$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 2$ Verdadero

$2 < x < 4$ Falso

$4 < x < 10$ Verdadero

$x > 10$ Falso

$x < 2$ Verdadero

$2 < x < 4$ Falso

$4 < x < 10$ Verdadero

$x > 10$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 2$ o $4 < x < 10$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, 2) \cup (4, 10)$

Paso 14