Precálculo Ejemplos

$\frac{x + 6}{x - 2} < 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + 6 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 3

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 6$

$x = 2$

Paso 5

Consolida las soluciones.

$x = - 6, 2$

Paso 6

Obtén el dominio de $\frac{x + 6}{x - 2}$ .

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{x + 6}{x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 2 = 0$

Paso 6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 6.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 6$

$- 6 < x < 2$

$x > 2$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 8) + 6}{(- 8) - 2} < 0$

Paso 8.1.3

$0.2$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 6 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 6 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) + 6}{(0) - 2} < 0$

Paso 8.2.3

$- 3$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{(4) + 6}{(4) - 2} < 0$

Paso 8.3.3

$5$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 6 < x < 2$

Paso 10

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 6, 2)$

Paso 11